求无权图的最大匹配---匈牙利算法

匈牙利算法

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名，，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

【先介绍几个概念】

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图3、图4中红色的边就是图2 的匹配。

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3中1、4、5、7为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完备匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完备匹配。

举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完备匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。

求解最大匹配问题的一个算法就是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。

1.未匹配点 ： 设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点

2.交错路 : 从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边这样的路径称为交错路

3.增广路 ： 从未匹配点出发，走交错路，如果路径终点还是一个未匹配点，这条路径称为增广路

如图5的一个增广路就如图6.

可以看出增广路的一大特性：增广路所走的边，未匹配边一定比匹配边多1， (如图6，黑色尖头比红色箭头多1.)

根据增广路的定义，这是必然的。

所以我们可以通过不断寻找增广路，然后将未匹配的边 与匹配的边互换，从而达到 “增广”的目的,也就是让匹配边加1 ，直到找不到增广路

所以匈牙利算法可以解决无权二分图的最大匹配问题。 想了解二分图，请移步这里二分图简介

【伪代码】

void hungary()//匈牙利算法{    for i->1 to n        if (从i的对应项出有可增广路)            匹配数++;    输出 匹配数;}bool  findpath(k)//寻找从k出发的对应项出的可增广路{    while (从邻接表中列举k能关联到顶点j){        if (j不在增广路上){            把j加入增广路;            if (j是未匹配点 或者 从j的对应项出发有可增广路)                修改j的对应项为k;//也就是说边(k,j)匹配，j对应匹配到k上                则从k的对应项出有可增广路,返回true;            }        }    }    则从k的对应项出没有可增广路,返回false;}

以上大部分源自学长讲课的PPT，觉得讲的好就整理了一下，希望更多的人能学习到。

这里给一个模板题 HDU 2063

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2063

过山车

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 14226    Accepted Submission(s): 6278

Problem Description

RPG girls今天和大家一起去游乐场玩，终于可以坐上梦寐以求的过山车了。可是，过山车的每一排只有两个座位，而且还有条不成文的规矩，就是每个女生必须找个个男生做partner和她同坐。但是，每个女孩都有各自的想法，举个例子把，Rabbit只愿意和XHD或PQK做partner，Grass只愿意和linle或LL做partner，PrincessSnow愿意和水域浪子或伪酷儿做partner。考虑到经费问题，boss刘决定只让找到partner的人去坐过山车，其他的人，嘿嘿，就站在下面看着吧。聪明的Acmer，你可以帮忙算算最多有多少对组合可以坐上过山车吗？

 

Input

输入数据的第一行是三个整数K , M , N，分别表示可能的组合数目，女生的人数，男生的人数。0<K<=1000
1<=N 和M<=500.接下来的K行，每行有两个数，分别表示女生Ai愿意和男生Bj做partner。最后一个0结束输入。

 

Output

对于每组数据，输出一个整数，表示可以坐上过山车的最多组合数。

 

Sample Input

6 3 31 11 21 32 12 33 10

 

Sample Output

3

注意：只有女生可以选择男生

【邻接链表储存图】

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<vector>#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;int k,m,n;const int maxn  =550;const int maxe  =1050;vector <int>G[maxn];bool inpath[maxe];int match[maxe];bool findpath(int k){    for(int i=0;i<G[k].size();i++){        int j=G[k][i];        if(!inpath[j]){            inpath[j]=true;            if(match[j]==-1||findpath(match[j])){                match[j]=k;return true;            }        }    }    return false;}void hungary(){    int cnt=0;    for(int i=1;i<=m;i++){        memset(inpath,0,sizeof(inpath));        if(findpath(i)){            cnt++;        }    }    cout<<cnt<<endl;}void init(){    memset(inpath,false,sizeof(inpath));    memset(match,-1,sizeof(match));    for(int i=0;i<maxn;i++){        G[i].clear();    }}int main(){    while(scanf("%d",&k)!=EOF&&k){        scanf("%d%d",&m,&n);        init();        int a,b;        for(int i=0;i<k;i++){            scanf("%d%d",&a,&b);            G[a].push_back(b);            // G[b].push_back(a);        }        hungary();    }    return 0;}

【前向星储存图】

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<vector>#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;int k,m,n;const int maxn  =550 ;const int maxe  =1050 ;bool inpath[maxe];int match[maxe];int head[maxe];int edgeNum=0;struct Edge{    int to,next;}edge[maxe];void addEdge(int a,int b){    edge[edgeNum].to=b;    edge[edgeNum].next=head[a];    head[a]=edgeNum++;}bool findpath(int k){    // inpath[k]=true; //inpath储存的是增广路，本题中标记的应该是男生，    for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].next){        int j=edge[i].to;        if(!inpath[j]){            inpath[j]=true; //所以在这里标记            //如果没有匹配，直接匹配，             //如果匹配了，，看看她的匹配能否找到新的匹配            if(match[j]==-1||findpath(match[j])){                match[j]=k;return true;            }        }    }    return false;}void hungary(){    int cnt=0;    for(int i=1;i<=m;i++){         memset(inpath,0,sizeof(inpath));        //从每一个节点开始找增广路，增广路都要清空，        //但是match不要清空,        if(findpath(i)){            cnt++;        }    }    cout<<cnt<<endl;}void init(){    memset(inpath,false,sizeof(inpath));    memset(match,-1,sizeof(match));    memset(head,-1,sizeof(head));    edgeNum=0;}int main(){    while(scanf("%d",&k)!=EOF&&k){        scanf("%d%d",&m,&n);        init();        int a,b;        for(int i=0;i<k;i++){            scanf("%d%d",&a,&b);            addEdge(a,b);        }        hungary();    }    return 0;}