每日一题(18)——买书问题(动态规划)
来源:互联网 发布:淘宝未发货退款流程 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 16:13
一,问题
上柜的《哈利波特》平装本系列,一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷,就可以扣除5%的费用,三卷则更多。假设具体折扣的情况如下:
本数 2 折扣 5%
本数 3 折扣 10%
本数 4 折扣 20%
本数 5 折扣 25%
买书的需求一定,但通过不同的买书组合,能买到不同的折扣。
问题:设计出算法,能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。
二,问题分析:
贪心策略
当书的数目N<5时,直接按照折扣购买
当书的数目N>5时,情况如下:
依此可以穷举出每一种组合的情况,对于任意一种情况(i,j,k,m,n)进行分析
先找出是所有书中5种不同的书,如果有则按照5本书折扣价购买
其次找出剩余书中所有4种书,如果有则按照4本书的折扣价购买
再找出剩余书中所有3种书,如果有则按照3本书的折扣价购买
最后在剩余书中找出所有2种书,如果有则按照2本书的折扣价购买
剩下的书则按照全价购买。
如果按照这种方法(贪心法)存在反例,比如买8本书时,可以拆成5+3,折扣为1.55;也可以拆成4+4,折扣为1.6 这种两种情况组合中都包括,通过选择一个折扣最低的可以排除掉第一种情况。
结论:贪心策略不可取
动态规划
要用动态规划解答首先要找到,动态规划的递归公式,因为动态规划是自顶向下层层递归,然后自底向下层层解答!最后根据底层结论求解最后结果。
五卷书的价格相同都是8欧元,所以购买(1,0,0,0,0)跟(0,1,0,0,0)效果一样。这里就可以简化为,让所购买书按照本书递增(递减),从而方便讨论。
要处理的参数为购买每种卷的个数,所以递归一定跟这五个参数相关。可以把参数按照从小到大顺序排列。讨论不为0的参数的个数,从而求出所有可能的折扣种类。然后从当前折扣种类中取价格最小值。
状态转移方程:
(X1,X2,X3,X4,X5)代表购买每卷的个数,F(X1,X2,X3,X4,X5)代表最低价格。其中,X1 < X2 < X3 < X4 < X5
F(X1,X2,X3,X4,X5)=0 ;当所有参数都为0的情况(这也是退出递归的出口)
F(X1,X2,X3,X4,X5)= min{
5*8*(1-25%) +F(X1-1,X2-1,X3-1,X4-1,X5-1) //参数全部 > 0
4*8*(1-20%) +F(X1,X2-1,X3-1,X4-1,X5-1) //x2 > 0
3*8*(1-10%) +F(X1,X2,X3-1,X4-1,X5-1) //x3 > 0
2*8*(1-5%) +F(X1,X2,X3,X4-1,X5-1) //x4 > 0
8 +F(X1,X2,X3,X4,X5-1) //x5 > 0
}
三,动态规划源码:
源码:
- #include<stdlib.h>
- #include <iostream>
- #include <random>
- using namespace std;
- #define random(x) (rand()%x)
- const int large = 10000;
- int countRE=0,countDP=0;//利用动态规划能少递归多少次,计数
- double S[10][10][10][10][10];
- template<typename T>
- void reRank(T m[], int length) //insert sort
- {
- // for (int i=0; i<length; i++) cout<<m[i]<<" ";
- // cout<<endl;
- for (int i=1; i<length; i++)
- {
- T tmp=m[i];//很重要;
- int j;
- for ( j=i-1; j>=0&&tmp<m[j]; j--)
- {
- m[j+1]=m[j];
- }
- m[j+1]=tmp;
- }
- // for (int i=0; i<length; i++) cout<<m[i]<<" ";
- }
- double findMin(double t1,double t2,double t3,double t4,double t5)
- {
- double n[5]={t1,t2,t3,t4,t5};
- reRank(n,5);
- return n[0];
- }
- double BestBuy(int x1, int x2, int x3, int x4, int x5)
- {
- countRE++;
- int i;
- int n[5] ={ x1, x2, x3, x4, x5 };
- reRank(n,5);
- x1=n[0];
- x2=n[1];
- x3=n[2];
- x4=n[3];
- x5=n[4];
- if(S[x1][x2][x3][x4][x5]>0) return S[x1][x2][x3][x4][x5];
- countDP++;
- /* x1 < x2 < x3 < x4 < x5*/
- if (n[0]>0)
- {
- double solution = findMin( 8+BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
- 2 * 8 * 0.95 + BestBuy(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
- 3 * 8 *0.9 + BestBuy(x1, x2, x3-1, x4 - 1, x5 - 1),
- 4 * 8 * 0.8 + BestBuy(x1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),
- 5 * 8 * 0.75 + BestBuy(x1-1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1) );
- S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
- return solution;
- }
- else if ((n[0] == 0) && (n[1] > 0))
- {
- double solution = findMin( 8+BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
- 2 * 8 * 0.95 + BestBuy(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
- 3 * 8 *0.9 + BestBuy(x1, x2, x3-1, x4 - 1, x5 - 1),
- 4 * 8 * 0.8 + BestBuy(x1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1), large );
- S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
- return solution;
- }
- else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) &&(n[2]>0))
- {
- double solution = findMin( 8+BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
- 2 * 8 * 0.95 + BestBuy(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
- 3 * 8 *0.9 + BestBuy(x1, x2, x3-1, x4 - 1, x5 - 1), large, large );
- S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
- return solution;
- }
- else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] > 0))
- {
- double solution = findMin( 8+BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
- 2 * 8 * 0.95 + BestBuy(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1), large, large, large );
- S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
- return solution;
- }
- else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] == 0) && (n[4] > 0))
- {
- double solution = 8.0 + BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1);
- S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
- return solution;
- }
- else
- {
- S[x1][x2][x3][x4][x5] =0;
- return 0;
- }
- }
- int main()
- {
- int N=5;
- int a[10];
- memset(S,0,sizeof(S));
- for(int i=0; i<N; i++) {a[i] = random(10); cout<<a[i]<<" ";}
- cout<<endl;
- cout<<BestBuy(a[0],a[1],a[2],a[3],a[4])<<endl;
- for(int i=0; i<N; i++) cout<<a[i]<<" ";
- cout<<endl;
- cout<<"递归次数: "<<countRE<<endl;
- cout<<"动态规划 递归计算次数: "<<countDP<<endl;
- }
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