每日一题(1)——滑雪问题(动态规划)

问题ID：POJ1088

滑雪

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Description

Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子

 1  2  3  4 516 17 18 19 615 24 25 20 714 23 22 21 813 12 11 10 9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

Input

输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。

Output

输出最长区域的长度。

Sample Input

5 51 2 3 4 516 17 18 19 615 24 25 20 714 23 22 21 813 12 11 10 9

Sample Output

25

 

解决这个问题网上两种方法：

1.是利用动态规划的变形

求解从每个点出发的最长路径长度，

求解从每一个出发点最长路径过程就是一个不断求最优解的过程。

关键就是理解动态规划和递归的关系！

[cpp] view plaincopyprint?

1. #include <iostream>  
2.   
3. using namespace std;  
4.   
5. int data[102][102], longest[102][102];  
6. int m,n;  
7.   
8. int cal(int i, int j)  
9. {  
10.     int max = 0;//保存周围节点的最大长度，最优子问题的变形;  
11.     if (longest[i][j] > 0)   
12.         return longest[i][j];  
13.     if ( i-1>=0 && data[i][j]>data[i-1][j] && max<cal(i-1,j))   
14.         max = cal(i-1,j);  
15.     if ( j-1>=0 && data[i][j]>data[i][j-1] && max<cal(i,j-1))  
16.         max = cal(i,j-1);  
17.     if( i+1<m && data[i][j]>data[i+1][j] && max<cal(i+1,j))  
18.         max = cal(i+1,j);  
19.     if( j+1<n && data[i][j]>data[i][j+1] && max<cal(i,j+1))  
20.         max = cal(i,j+1);  
21.     return longest[i][j] = max+1;  
22.   
23. }  
24.   
25.   
26.   
27. int main()  
28. {  
29.     int i,j;  
30.     int maxway = 0;  
31.   
32.     cin>>m>>n;  
33.     for (i=0; i<m; i++)  
34.         for (j=0; j<n; j++)  
35.         {  
36.             cin>>data[i][j];  
37.             longest[i][j] = 0;  
38.         }  
39.     for(i=0; i<m; i++)  
40.         for (j=0; j<n; j++)  
41.         {  
42.             longest[i][j] = cal(i,j);  
43.             if(maxway<longest[i][j])  
44.                 maxway = longest[i][j];  
45.         }  
46.     cout<<maxway<<endl;  
47. }  

 

2.利用深度优先遍历，其实和方法1. 是一样的,

两种方法其实是一样的，第二种方法需要额外的多一些空间，计算容易出错，第一种方法比较好。

[cpp] view plaincopyprint?

1. #include <iostream>  
2.   
3. using namespace std;  
4.   
5. int data[102][102], longest[102][102];  
6. int m,n;  
7.   
8.   
9. int max4(int a, int b, int c, int d)  
10. {  
11.     if(a<b) a=b;  
12.     if(a<c) a=c;  
13.     if(a<d) a=d;  
14.     return a;  
15. }  
16.   
17. int dft(int i ,int j, int height)  
18. {  
19.     if( data[i][j]==-1|| height<=data[i][j]) return 0;  
20.     if (longest[i][j] > 0)  
21.         return longest[i][j];  
22.     longest[i][j] = max4(dft(i-1, j, data[i][j]), dft(i,j-1,data[i][j]), dft(i+1,j,data[i][j]), dft(i,j+1,data[i][j]))+1 ;  
23.     return longest[i][j];  
24. }  
25.   
26. int main()  
27. {  
28.     int i,j;  
29.     int maxway = 0;  
30.   
31.     memset(longest, -1, sizeof(longest));  
32.     memset(data, -1, sizeof(data));  
33.   
34.     cin>>m>>n;  
35.     for (i=1; i!=m+1; i++)  
36.         for (j=1; j!=n+1; j++)  
37.         {  
38.             cin>>data[i][j];  
39.         }  
40.     for(i=1; i!=m+1; i++)  
41.         for (j=1; j!=n+1; j++)  
42.         {  
43.             longest[i][j] = dft(i,j,data[i][j]+1);  
44.             if(maxway<longest[i][j])  
45.                 maxway = longest[i][j];  
46.         }  
47.     cout<<maxway<<endl;  
48. }  

 

这道题关键就是递归调用子函数的最优解。在本题中就是使用小于当前高度的邻接点的最长路径。