二分图学习小结

匹配： 在图论中，一个匹配是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
最大匹配： 一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配
最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。
最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择
最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连
最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，
使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。
定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）
定理2：二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配
定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 -最大匹配数

二分图中的增广路径的性质：
(1)有奇数条边。
(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。
(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连，不要忘记哦。）
(4)整条路径上没有重复的点。
(5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。
(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。
(7)最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。

学习资料：http://blog.csdn.net/xuguangsoft/article/details/7861988

关键是建图：建立A,B两个集合，集合内是没有关系的，集合之间是单向关系
二分图的性质：在无向图G中，至少要有两个点。如果存在回路，那么回路必为偶数边的回路。。
多重匹配：一对多的二分图的多重匹配。二分图的多重匹配算法的实现类似于匈牙利算法，对于集合X中的元素xi，找到一个与其相连的元素yi后，检查匈牙利算法的两个条件是否成立，若yi未被匹配，则将xi，yi匹配。否则，如果与yi匹配的元素已经达到上限，那么在所有与yi匹配的元素中选择一个元素，检查是否能找到一条增广路径，如果能，则让出位置，让xi与yi匹配。
match[i][j]表示X集合中的Xi点与y集合中的j个点相连接（一对多）

1. 匈牙利算法模板

//二分图匹配（匈牙利算法的DFS实现）//初始化：g[][]两边顶点的划分情况//建立g[i][j]表示i->j的有向边就可以了，是左边向右边的匹配//g没有边相连则初始化为0,邻接表表示则清空//Nx是匹配左边的顶点数，Ny是匹配右边的顶点数//调用：res=hungary();输出最大匹配数//优点：适用于稠密图，DFS找增广路，实现简洁易于理解//时间复杂度:O(VE)//顶点编号从0开始的#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a));const int maxn=222;vector<int> G[maxn];int matching[maxn];bool vis[maxn];int Nx,Ny;//左右节点数bool dfs(int u){    int N=G[u].size();    for(int i=0;i<N;i++){        int v=G[u][i];        if(vis[v])continue;        vis[v]=true;        if(matching[v]==-1||dfs(matching[v])){            matching[v]=u;            return true;        }    }    return false;}int hungar(){    int ans=0;    cl(matching,-1);    for(int i=0;i<Nx;i++){        cl(vis,false);        if(dfs(i))ans++;    }    return ans;}

2 Hopcroft-Karp算法模板

这个算法比匈牙利算法的时间复杂度要小，大数据可以采用这个算法是对匈牙利算法的优化，每次找到多条可以增广的路径集合二分图匹配（Hopcroft-Karp的算法）。初始化：g[][]邻接矩阵，但是我喜欢邻接表，使用前清空调用：res=MaxMatch(); 邻接矩阵 Nx,Ny要初始化，邻接表的话，只要初始化Nx时间复杂大为 O(V^0.5 E)适用于数据较大的二分匹配const int maxn=3005;const int inf=999999;vector<int> G[maxn];int mx[maxn],my[maxn],dx[maxn],dy[maxn];bool vis[maxn];int Nx,Ny,dis;bool bfs(){    queue<int> q;    cl(dx,-1);    cl(dy,-1);    dis=inf;    for(int i=0;i<Nx;i++){        if(mx[i]==-1){            q.push(i);            dx[i]=0;        }    }    while(!q.empty()){        int u=q.front();q.pop();        if(dx[u]>dis)break;        for(int i=0;i<G[u].size();i++){            int v=G[u][i];            if(dy[v]==-1){                dy[v]=dx[u]+1;                if(my[v]==-1)dis=dy[v];//表示找到一条增广路了，更新最小距离                else {                    dx[my[v]]=dy[v]+1;                    q.push(my[v]);                }            }        }    }    return dis!=inf;}bool dfs(int u){    int N=G[u].size();    for(int i=0;i<N;i++){        int v=G[u][i];        if(!vis[v]&&dy[v]==dx[u]+1){            vis[v]=true;            if(my[v]!=-1&&dy[v]==dis)continue;            if(my[v]==-1||dfs(my[v])){                my[v]=u;                mx[u]=v;                return true;            }        }    }    return false;}int Maxmatch(){    int ans=0;    cl(mx,-1);    cl(my,-1);    while(bfs()){        cl(vis,false);        for(int i=0;i<Nx;i++){            if(mx[i]==-1&&dfs(i))ans++;        }    }    return ans;}

部分类型题目：
1.最大匹配
2.最小路径覆盖
3.最小点覆盖
4.最大独立集
5.行列匹配奇偶匹配，染色，缩点，
6.路径输出解答输出
7.建图细节反向建图，极大完全子图，
8.一对多匹配 ， 多对多匹配
9.二分答案+匹配
10.二分图性质应用

未完待续 。。。