二分图 学习笔记

很久之前就学过二分图，但是感觉当时理解的并不好。今天重新复习了一下二分图——for noip，在此写下一些新的体会。

二分图的定义

摘自ATP的blog——

二分图顾名思义就是可以分成两部分的图。并且这两部分内部不能有边相连。形式化地，定义图G={V,E}，A是G的一个子集。如果对于∀(x,y)∈E，都有（x∈A）∧（y∈S−A）或者（y∈A）∧（x∈S−A）（总之x和y不能同时属于A或S−A），那么称G是一个二分图。

由于二分图的特殊性，我们可以用它来搞很多事情= =

基本概念

二分图上乱七八糟的东西非常多，比如说——
匹配：在图论中，一个匹配是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路。

二分图的判断

由二分图的概念我们可以得到一个非常显然的判断方法。将一个图黑白染色，要求有边直接相连的点被染成不同的颜色，如果无法染色或发生冲突，则不是二分图。
正确性显然啊▽

二分图的相关算法和结论

以下所有的结论都没有非常严谨的证明，全部是我自己yy的，可能会有一些不充分或不合理的地方叭，见笑。

最大匹配

最大匹配的概念之前已经介绍过了，那么如何求最大匹配呢？
强烈建议看这篇文章：
趣写算法系列之——匈牙利算法
不过我不是很推荐用这个blog里的代码，它每次都memset会很慢。其实vis数组可以不用bool，而是打一个标记，这样可以节省时间。

贴一个二分图判断+最大匹配的模板

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;#define N 40005int n,m,x,y,ans;bool flag;int tot,point[N],nxt[N*2],v[N*2];int belong[N],vis[N],col[N];void clear(){    ans=0;    tot=0;memset(point,0,sizeof(point));memset(v,0,sizeof(v));memset(nxt,0,sizeof(nxt));    memset(belong,0,sizeof(belong));memset(vis,0,sizeof(vis));memset(col,-1,sizeof(col));}void add(int x,int y){    ++tot; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;}void dfs(int x,int fa){    for (int i=point[x];i&&flag;i=nxt[i])        if (v[i]!=fa)        {            if (col[v[i]]==-1)            {                col[v[i]]=col[x]^1;                dfs(v[i],x);            }            else            {                if (col[v[i]]!=(col[x]^1)) flag=false;                return;            }        }}bool find(int x,int k){    for (int i=point[x];i;i=nxt[i])        if (vis[v[i]]!=k)        {            vis[v[i]]=k;            if (!belong[v[i]]||find(belong[v[i]],k))            {                belong[v[i]]=x;                return true;            }        }    return false;}int main(){    while (~scanf("%d%d",&n,&m))    {        clear();        if (n==1)        {            puts("No");            continue;        }        for (int i=1;i<=m;++i)        {            scanf("%d%d",&x,&y);            add(x,y);        }        flag=true;        col[1]=0;dfs(1,0);        if (!flag)        {            puts("No");            continue;        }        for (int i=1;i<=n;++i)            if (find(i,i)) ans++;        printf("%d\n",ans);    }}

个人的一点点理解：
实际上匈牙利算法的每一次增广只是在不断地调整匹配边而已，直到不能匹配为止。

你会发现，最大匹配非常好用。二分图的很多问题都能转化为这个基本模型。

最小路径覆盖

一个有向无环图（不一定是二分图），要求用尽量少的不相交的简单路径覆盖所有的节点。
建图方法：将原图每个点拆为两个点，对于每一条边(u,v)，从相应的第一个点向第二个点连有向边，形成一个二分图。
一个结论：最小路径覆盖=顶点数-最大匹配
注意上面的顶点数是指原图的顶点数。
证明：
假设每一个点的连出点成为出点，连入点成为入点。那么我们可以从每个点的入点向出点连一条有向边。这条边可以称之为辅助边，它的作用是将拆开的点重新联系起来。那么我们从每一个未访问过的点的入点出发，依次经过辅助边、匹配边、辅助边、匹配边直到无路可走为止，这就画出了一条一条的路径覆盖。可见，如果刚开始每一个点对答案的贡献为1的话，每多一个匹配答案就会减少1。就可以证明上面那个结论了。

最大独立集

寻找一个最大点集A，满足∀u,v∈V,(u,v)∉E。
二分图的最大独立集=顶点数-最大匹配
证明：
看到这个公式，我们可以形象地将其理解为先选出所有没有匹配的点，然后再在每一对匹配点对中选出一个点来。可以证明这样做是显然正确并且唯一成立的。
①因为两两无边，所以每一对匹配只能选一个点，并且必须是最大匹配。
②一定存在一种方案，使得从每一个匹配中选出一个点，使其和其它点没有边。可以用反证法。
1°假设存在两个匹配，从一个匹配中选一个点，不管怎样选，这两个点之间一定有边。那么可以发现这四个点是一个完全图而不是二分图，与原命题矛盾。
2°假设存在一个匹配，不管选哪个点，都和其它未匹配点有边。那么假设匹配边(u,v)，u′,v′均为未匹配点，选u时u与u′有边，选v时v与v′有边，那么显然砍断当前的匹配边(u,v)，使(u,u′)和(v,v′)成为匹配边是更大的匹配，与原名题矛盾。

综上，命题得证。

最大团

寻找一个最大点集，任意两点间有边。
二分图的最大团=其补图的最大独立集
补图就是把二分图中两集合相互有边的点全部变为无边，相互无边的点全部变为有边。显然二分图的补图还是二分图。
这个结论非常显然啊，图也是互补的条件也是互补的，所以一定是等价的啊= =

最小顶点覆盖

寻找一个最小点集A，满足对于∀(u,v)∈E,(u∈A)∨(v∈A)。
最小顶点覆盖=最大匹配
证明：
①充分性：已知一个最小顶点覆盖，推出最大匹配。
1°如果这个点集是最小顶点覆盖，那么对于点集中一定不存在u，满足对于∀(u,v)∈E,v∈A。所以在这个点集中，对于∀u选一条边(u,v)作为匹配边，满足v∉A，一定是一个合法的匹配。
2°用反证法：假设这个匹配不是最大匹配，那么一定存在边(u,v)满足(u∉A)∧(v∉A)，那么这不是一个最小顶点覆盖，与已知矛盾。

②必要性：已知一个最大匹配，推出最小顶点覆盖。
1°因为是最大匹配，那么未匹配边里一定不存在一条两个端点都未匹配的边，那么就从每一对匹配中选出一个点，一定存在一种方案使其是一个合法的顶点覆盖。
2°同样用反证法，如果这个点集不是最小的，那么一定存在一条边的两个端点都在最大匹配里，与已知矛盾。
至此，可以证明由最大匹配能推出最小顶点覆盖。

证毕。

感觉二分图的相关算法还有很多啊，比如什么稳定婚姻问题balabala，以后还要继续学，持续更新。