三种素数筛选法详解 (转)

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第一种：剔除2 3 4 5 6 … … 的倍数

在i从2开始的增一变化过程中，剔除i的倍数即j*i（j是大于等于2的自然数，j的上限是问题规模M）
为了减少重复步骤，可以每当i递增到等于第一个没有被剔除的（素）数时再剔除该数的倍数，
重复上述过程至i到达问题规模m的平方根+1

需要说明的三个问题：
假设循环到第n个数，如果该数没有被剔除，那么该数不能是前边所有数的倍数，该数更不可能是后边数的倍数，该

数就是素数。
如果该数是合数却没被剔除，那么该数能分解为两个小于该数的数的积的形式，而前边剔除的数包含了所有小于该

数的数之间的积，这是矛盾的。

为什么筛选循环的第一层只循环至问题规模m的平方根+1
因为，对于一个数m，所有大于该数平方根的数的积已经大于该数了，再剔除下去只是多余。

为什么筛选循环的第二层只循环至MAX/i？
因为此时j*MAX/i就等于MAX，此时需要标记为错误的数已经到了问题的规模即MAX，没有必要在标记比MAX大的值不

是素数，此外用来标记i*j不是素数的数组只有MAX+1的容量，这样做是向不是自己申请的内存空间里写数据，是危

险的。

<span style="font-size:13px;">#include <iostream>#include <cstdlib>#include <cmath>using namespace std;const int MAX=1000;int main(){     int i=0,j=0,n=sqrt(MAX)+1;     int a[MAX+1]={0};     for(i=2;i<=n;i++)  //筛选循环       for(j=2;j<=MAX/i;j++)           a[j*i]=1;     for(i=2;i<=MAX;i++)        if(a[i]==0)        {          cout.width(7);          cout<<i<<" ";        }     system("pause");     return 0;}</span>

用a[i*j]来标记i*j不是素数，这一个相对来说比较容易想到
再来看看下一个(第二种，稍作了优化)

<span style="font-size:13px;">#include<stdio.h>#include<math.h>#define MAX_P  500int nList[MAX_P] = {0};void Calc() {    int n,p,t,sq=(int)sqrt(MAX_P*2+1);    for (n=3;n<=sq;n+=2)    {        if (nList[n>>1]) continue;        for (t=n*n;t<=MAX_P<<1;t+=n<<1) //筛选循环            nList[t>>1] = 1;    }    printf("%5d", 2);    for (n=t=1;t<MAX_P;++t)    {        if (nList[t]) continue;        printf("%5d", (t<<1)+1);        if (++n==10)        {            printf("\n");            n=0;        }    }}int main(void){    Calc();    getchar();    return  0;}</span>

这个程序的方法是通过排除3 5 7 9 11 … …中的素数n的奇数倍来排除素数的
用数组nList中的第[t/2]个元素的值（取1)来标记t不是素数。

1、为什么是奇数的倍数？
首先我们假设这个算法是正确的。由于素数除了2都是奇数，那么每次送入筛选循环的n值都是奇数，排除t时t的递

增表达式可写为
for（int i=0；i

<span style="font-size:13px;">#define MAX_N 1000int a[MAX_N+1];int p[MAX_N+1];int nCount=0;void Init(int n) //线性筛法，不过在小范围上(约n<1e7)不比上一个方法快{    for (int i=2;i<=n;i++)    {        if (a[i]==0)        {            p[++nCount]=i;        }        for (int j=1,k; (j<=nCount) && (k=i*p[j])<=n; j++) //筛选循环        {            a[k] = 1 ;            if (i%p[j] == 0) break;        }    }}#include <iostream>int main(void){    Init(MAX_N);    for(int n=1; p[n]>1; ++n)    {        printf("%5d", p[n]);    }    return 0;}</span>

这一种可以说是对前种算法的直接变形
用a[k]=1来标记k不是素数
第一种是用筛选出来的正确的数（即素数）的倍数剔除合数

第二种是用2到n乘筛选出正确的数，即素数

如果你不以为然，我可以把for (n=3;n<=sq;n+=2)该为（n=3;n