动态规划经典案例

1.最长递增子序列

求一段字符串的最长递增子序列

问题分析:

设序列为:A="a0,a1,a2,a3,a4,a5,...,ai",定义D(i)为选i作为序列一项后,后面序列中第i项更大项数有多少,包括i.从最后一项算起D(i)=1,依次往前计算;如果ak<=ak+1,则D(k)=D(k+1)+1 ; 如果ak>ak+1 ,则往后遍历，直到寻找到m，ak<=am,然后D(k)=D(m)+1,如果遍历到最后一项都没有大于ak的数，则ak保持原值1。

举例

A={1，5，2，6，3，4}

算出：D=(4,2,3,1,2,1)

则最长子序列长度为4。

自己实现代码如下：

#include<iostream>#include<vector>using namespace std;#define MAX_LENGTH 100void LAS(int x[],int xlen,int D[]){for(int k=0;k<xlen;k++)D[k]=1;for(int i=xlen-1;i>=0;i--)for(int j=i+1;j<xlen;j++){if(x[i]<=x[j]&&D[i]<D[j]+1)D[i]=D[j]+1;}return ;}void PrintLAS(int x[],int xlen,int D[]){int mark=D[0];for(int i=0;i<xlen;i++){if(mark==D[i]){cout<<x[i];--mark;}}}int main(){int a[6]={1,5,2,6,3,4};int D[6];LAS(a,6,D);PrintLAS(a,6,D);return 1;}

2.最长公共子序列

求两字符序列的最长公共字符子序列

问题分析:

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bn-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

总结为公式:

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度。我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

自己实现代码如下,可输出所有最长公共子序列:

#include<iostream>#include<vector>using namespace std;#define MAX_LENGTH 100vector<char> v;void LCSLength(char *x,char *y,int A[][MAX_LENGTH]){int xlen=strlen(x);int ylen=strlen(y);for(int i=0;i<=xlen;i++)A[i][0]=0;for(int j=0;j<=ylen;j++)A[0][j]=0;for(i=1;i<=xlen;i++)for(j=1;j<=ylen;j++){if(x[i-1]==y[j-1])A[i][j]=A[i-1][j-1]+1;else{if(A[i-1][j]>A[i][j-1])A[i][j]=A[i-1][j];elseA[i][j]=A[i][j-1];}}return ;}void PrintLCS(char *x,char *y,int A[][MAX_LENGTH],int i,int j){if(0==i||0==j){vector<char>::iterator it=v.begin();while(it!=v.end()){cout<<*it;++it;}cout<<endl;return;}if(x[i-1]==y[j-1]){v.push_back(x[i-1]);PrintLCS(x,y,A,i-1,j-1);v.pop_back();return ;}else{if(A[i-1][j]==A[i][j-1]){PrintLCS(x,y,A,i-1,j);PrintLCS(x,y,A,i,j-1);return ;}else if(A[i-1][j]>A[i][j-1]){PrintLCS(x,y,A,i-1,j);return ;}else{PrintLCS(x,y,A,i,j-1);return ;}}}int main(){char *a="ABCBDAB";char *b="BDCABA";int A[MAX_LENGTH][MAX_LENGTH];LCSLength(a,b,A);PrintLCS(a,b,A,7,6);int xlen=strlen(a);int ylen=strlen(b);for(int i=0;i<=xlen;i++){cout<<endl;for(int j=0;j<=ylen;j++){cout<<A[i][j];}}return 1;}

3.最长公共子串

找两个字符串的最长公共子串，这个子串要求在原字符串中是连续的。而最长公共子序列则并不要求连续。

问题分析:

其实这是一个序贯决策问题，可以用动态规划来求解。我们采用一个二维矩阵来记录中间的结果。这个二维矩阵怎么构造呢？直接举个例子吧："bab"和"caba"(当然我们现在一眼就可以看出来最长公共子串是"ba"或"ab")

我们看矩阵的斜对角线最长的那个就能找出最长公共子串。

不过在二维矩阵上找最长的由1组成的斜对角线也是件麻烦费时的事，下面改进：当要在矩阵是填1时让它等于其左上角元素加1。

这样矩阵中的最大元素就是 最长公共子串的长度。(以上引用自http://my.oschina.net/leejun2005/blog/117167)

自己代码实现如下:

#include<iostream>xusing namespace std;#define MAX_LENGTH 100void LCSLength(char *x,char *y,int A[][MAX_LENGTH]){int xlen=strlen(x);int ylen=strlen(y);for(int i=0;i<=xlen;i++)A[i][0]=0;for(int j=0;j<=ylen;j++)A[0][j]=0;for(i=1;i<=xlen;i++)for(j=1;j<=ylen;j++){if(x[i-1]==y[j-1])A[i][j]=A[i-1][j-1]+1;elseA[i][j]=0;}return ;}void PrintLCS(char *x,char *y,int A[][MAX_LENGTH]){int max=0;int xlen=strlen(x);int ylen=strlen(y);for(int i=0;i<=xlen;i++)for(int j=0;j<=ylen;j++)if(max<A[i][j])max=A[i][j];for(i=0;i<=xlen;i++)for(int j=0;j<=ylen;j++){if(A[i][j]==max){int m=i,n=j;while(A[m][n]){cout<<x[m-1];--m;--n;}cout<<endl;}}}int main(){char *a="ABCBDCB";char *b="BDCABC";int A[MAX_LENGTH][MAX_LENGTH];LCSLength(a,b,A);PrintLCS(a,b,A);int xlen=strlen(a);int ylen=strlen(b);for(int i=0;i<=xlen;i++){cout<<endl;for(int j=0;j<=ylen;j++){cout<<A[i][j];}}return 1;}

4 最长回文子串