奇妙的相亲数

相亲数及其计算

 

 

在数学中有一些奇妙的数字，例如完美数、回文数、相亲数、水仙花数等等。本文介绍其中的相亲数。

 

1 相亲数

定义：不同的正整数A和正整数B组成的数对称为相亲数，当且仅当A的真因数之和等于B且B的真因数之和等于A。

例如，整数220的真因数包括1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，而1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284；反过来，284的真因数包括1、2、4、71、142，而1+2+4+71+142=220。因此，220和284是一对相亲数。

220和284是第一对相亲数。此后，人们一直难以找到其他的相亲数，从而引起人们的猜想是不是自然界只有这一对相亲数，并由这一对数引发了很多浪漫的神话。

17世纪法国数学家费尔玛进行了大量冗长乏味的计算后，终于找到了第二对相亲数17296和18416。两年后，法国“解析几何之父”笛卡尔于1638年3月31日宣布找到了第三对亲和数9437056和9363584。

著名数学家欧拉也研究过相亲数这个问题。1750年，他先后公布了60对相亲数。不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程。欧拉将相亲数划分为五种类型加以讨论。例如第一类是寻找形如aqp、ar的相亲数对，这里p、q、r是不能整除a的互异素数，a=2n。他用试的方法讨论了22×5×11=220和22×7=284，得到了第一对相亲数，依此又分别讨论其他情况，在第一类型里经过计算一共得到了11对相亲数。

欧拉的发现，解开了2000多年来的难题，使数学家惊喜叫绝。可是，由于方法与工具限制，人们却难以一个一个地验算核对，并且难以验证是否还存在其他的相亲数。在1866年，一个意大利青年巴格尼尼发现1184与1210是仅仅比220与284稍为大一些的第二对相亲数。欧拉算出了长达几十位数字的相亲数，却偏偏遗漏了近在身边的第二对。

时光又过了半个多世纪，数学家在前人的基础上更新方法，陆陆续续又找到了许多对新的相亲数。到1923年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己研究所得，发表了1095对相亲数，其中最大的数有25位。同年,另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的相亲数。

随着时间的推移，人们靠笔算很难像欧拉那样一下发现众多的相亲数；随着数位越来越大，发现的数也越来越少。此时有数学家推测：若一对相亲数的数值愈大，则这两个数之比愈接近于1。这个推测是否成立，还有待数学家的证实。

现代以来，随着电子计算机系统计算能力的不断增强，很多以前不能解决的问题都能借助计算机而解决。相亲数也是如此。据70年代统计，人们共找到1200多对相亲数，并且，有人还曾有序不漏地用计算机检验与搜寻相亲数。例如近10年来，美国数学家在耶鲁大学先进的计算机上，对所有100万以下的数逐一进行了检验，总共找到了42对相亲数，发现10万以下的仅有13对，部分地消除了对欧拉等人列出的相亲数数表的疑虑。

目前，现在通过已发现10位以下的大量相亲数。但是，寻找相亲数还有许多有待探求的问题，如：目前找到的每一对相亲数所含的两个数，总是同时为偶数或同时为奇数，是否存在一个是偶数，而另一个是奇数的相亲数？目前找到的奇相亲数均是3的倍数，这是偶然性，还是必然规律？

下面给出一段本人用C语言编写的计算相亲数的程序：

void main()

{

       long int A = 1;        //保存第一个数

       long int B = 1;        //保存第二个数

       int SumOfA;          //保存第一个数真因数之和

       int SumOfB;          //保存第二个数真因数之和

       int j;

 

       //对每个数A都算出真因数之和SumOfA（设为B）

       //对B计算出真因数之和SumOfB

       //如果SumOfB等于A，则A和B就是一对相亲数

       for(A=2; A<1000000; A++)

       {

              //A的因数和，初始为0

              SumOfA = 0;

 

              //判断任意小于A的整数j是否是A的因数

              //若是，则把j加到因数和中

              for(j=1; j<=A/2; j++)

                     if(A%j == 0)

                     {

                            SumOfA += j;

                     }

 

              //设置B=SumOfA，计算B的真因数之和SumOfB

              B = SumOfA;

SumOfB = 0;

              for(j=1; j<=B/2; j++)

                     if(B%j == 0)

                     {

                            SumOfB+=j;

                     }

             

              //判断A和SumOfB是否相等

              //注意：还要判断两个数A和B是否相等！

              //A>B时会出现重复输出相亲数，因此不输出

              if(( A == SumOfB) &&( A < B))

                     printf("%d, %d/n", A, SumOfA);

       }

}

这是一个未经优化的程序，运行时找到10对相亲数所用的时间比较短，但要获得更多的相亲数，需要更长的运行时间。据报道，美国数学家在耶鲁大学的计算机上，对所有一百万以下的数进行了检验，共找到了42对“相亲数”。下表仅列出由上面程序计算出的前22对“相亲数”：

220，284

1184，1210

2620，2924

5020，5564

6232，6368

10744，10856

12285，14595

17296，18416

63020，76084

66928，66992

67095，71145

69615，87633

79750，88730

100485，124155

122265，139815

122368，123152

141664，153176

142310，168730

171856，176336

176272，180848

185368，203432

196724，202444

值得一提的是，约公元9世纪时，阿拉伯数学家本·科拉建立了一个有名的相亲数公式：

   对任意大于1的正整数x，若a = 3*2^x-1、b=3*2^x-1-1、c=9*2^2x-1-1都是素数，则2^xab与2^xc就是一对相亲数。

   但是这个公式实际计算起来特别复杂，在依靠人工运算的古代，并不能使人们发现更多的相亲数，这个公式也未经验证。

 

2 金兰数

上面介绍的相亲数是两个正整数的真因数之和互相等于对方，金兰数是相亲数的扩展。若正整数A的真因数之和等于B，B的真因数之和等于C，C的真因数之和等于C，而C的真因数之和恰好等于A，则称A、B、C这三个正整数组成金兰数对。

 

3 n环相亲数链

上面提到金兰数是相亲数的扩展，实际上，相亲数还可以在金兰数的基础上进行更多的扩展：对于正整数A1、A2、A3、…、An-1、An，若A1的真因数之和等于A2，A2的真因数之和等于A3，…，An-1的真因数之和等于An，而An的真因数之和恰好等于A1，则称正整数A1、A2、A3、…、An-1、An组成n环相亲数链。