第二集 监督学习的应用—梯度下降

三个问题：线性回归、梯度下降、正规方程组

监督学习的工作流程如下所示：








对于学习算法，我们这里应用线性回归，可以得到。在这里θ代表的是参数。x1、x2代表的是两种不同的特征。举例来讲，预测房价，我们可以根据房屋面积以及卧室数目两种特征进行预测，其中房屋面积为x1，卧室数目为x2。对于h(x)，若定义x0=1，则（用矩阵的形式表示，后面会有用）。

符号（notation）：

m——训练样本的数目
X——输入变量（又叫特征）
y——输出变量（目标变量）
n——特征的数目
（x，y）——样本
（x^(i),y^(i)）表示第i个训练样本
PS：代表第i个训练样本，下角标代表第j种特征

为了使训练效果达到最好，用下面的函数进行判定：

下面将分别利用梯度下降和正规方程组对这个问题进行求解。


梯度下降

为了使成立，最有效的方法是每次移动的方向都是下降最快的方向，这符合梯度的定义，这个方向正是梯度的方向。梯度下降算法有着一定的局限性，即目标函数存在多个局部最优值，则选择不同的起点，终点很有可能不一样。换句话说，可能收敛不到最小值的那一点。但对于我们这个函数来讲，它是一个二次函数，最小值点有且只有一个，不存在别的局部最优解，所以不用理会梯度下降的局限性。

有了以上推论，就可以对输出函数中的参数进行训练，使其满足需求。公式如下：

其中α为学习速度，相当于步幅，为人工设定。
将 的值代入即可得批梯度下降算法：

通过上式可以发现，要想计算某一特征i对应的参数 ，必须要遍历所有的训练样本。这对于少量样本的情况影响不大，但m一旦到了百万级，这个遍历会导致运算速度变得及其慢。

为了解决这个问题，可以采用随机梯度下降算法（增量梯度下降算法）来代替普通的梯度下降算法。随机梯度下降算法的描述如下：

For j=1 to m {

(for all i)
}
利用随机梯度下降算法计算参数 时，对于每一个每次只需要利用一个训练样本进行调整，不需要像普通的梯度下降算法一样在调整之前遍历所有的训练样本（m个）。其优点是计算速度相当快，简单，便于实施；其缺点是不够精确，不一定能够收敛到全局最小值，可能会在最小值处绕圈子。随机梯度下降算法的每一步决策都是基于当前环境的判断，而不是全局。



正规方程组

一些线性代数的基本概念和结论：

设函数f(A)可将矩阵A映射为实数，则

若A为n*n的矩阵，则可定义A的迹为：

（对角元素相加）

一些结论：

用矩阵的符号可以节省很多计算量，更加便于理解。下面对min 进行推导。

倒数第二个式子即为正规方程组。可能有人会注意到最后那个解析解的 项是否一定可逆的问题，这个问题确实存在，但一般情况下，其一定是可逆的。（本人对此表示怀疑）