ACM-数学知识的算法应用

ACM-数学知识的算法应用

1.完全错位排序

   问题描述：

    某人写了 n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有信都装错了信封共有多少种情况.

   问题分析：

    公式：S=n!(1-1/1! + 1/2!- 1/3! +1/4! - …… +(-1)^n/n! )

2.集合的划分

   问题描述：  

    设ｓ是一个具有n个元素的集合，s={a1, a2, a3...... an }，

    现将ｓ划分成K个满足下列条件的子集合s1, s2, ...... sk ，且满足：

        1).si≠φ

       2).si∩sj＝φ         (1≤i，j≤k  i≠j)

       3).s1∪s2∪s3∪…∪sk＝ｓ

    则称s1, s2, ...... sk是集合ｓ的一个划分。求集合S的k划分。

   问题分析：

    它相当于把ｓ集合中的n个元素a1,a2......an放入k个(0<k≤n<30)无标号的盒子中,使得没有一个盒子为空。

    请你确定n个元素a1 ，a2 ，……，an 放入k个无标号盒子中去的划分数s(n，k)。

    先举个例子，设S＝{1，2，3，4}，k＝3，不难得出ｓ有6种不同的划分方案，

    即划分数s(4，3)=6，具体方案         为：

        ｛1，2｝∪｛3｝∪｛4｝    ｛1，3｝∪｛2｝∪｛4｝    ｛1，4｝∪｛2｝∪｛3｝

        ｛2，3｝∪｛1｝∪｛4｝    ｛2，4｝∪｛1｝∪｛3｝    ｛3，4｝∪｛1｝∪｛2｝

   问题归纳：

    对任一个元素an，则必然出现以下两种情况：

    1.{an}是k个子集中的一个，于是我们只要把a1，a2，……，an-1 划分为k－1子集，便解决了本题，

       这种情况下的划分数共有s(n－1，k－1)个；

    2.{an}不是k个子集中的一个，则an必与其它的元素构成一个子集。

      问题相当于先把a1，a2，……，an-1 划分成k个子集，这种情况下划分数共有ｓ(n－1，k)个；

      然后再把元素an加入到k个子集中的任一个中去，共有k种加入方式，

      这样对于an的每一种加入方式，都可以使集合划分为k个子集，       

      因此根据乘法原理，划分数共有k*s (n－1，k)个。

    综上得：

               s(n，k)＝s(n-1，k-1)+k*s(n-1, k)    (n>k, k>0)

 

    下面，确定s(n，k)的边界条件,

     1.不能把n个元素放进一个空集合中去，即k=0时，s (n，k)＝0；

     2.也不可能在不允许空盒的情况下把n个元素放进多于n的k个集合中去，即k＞n时, s (n，k)＝0；

     3.把n个元素放进一个集合或把n个元素放进n个集合，方案数显然都是1，即k=1或k=n时，s(n,k)=1。

     因此，我们可以得出划分数ｓ(n，k)的递归关系式为：

                                         s(n，k)＝0                            (n<k)或(k＝0)

                                         s(n，k)＝1                            (k=1)或(k＝n)

                                         s(n，k)＝s(n-1, k-1)+k*s(n-1, k)    (n>k，k>0)

 

3.三角形的面积公式：

  1).已知三角形底a,高h,则 S＝ah/2

  2).已知三角形三边a,b,c,则

   （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）

     S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

  3).已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S＝1/2 * absinC

  4).设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r,则三角形面积=(a+b+c)r/2

  5).设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为R,则三角形面积=abc/4R

  6).                 | a b 1 |

      S△=1/2 *  | c d 1 |

                      | e f 1 |

      | a b 1 |

      | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d),C(e,f),这里ABC

      | e f 1 |

     选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,

     如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!

  7).海伦——秦九韶三角形中线面积公式:

      S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

      其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.

  8).根据三角函数求面积：

      S= ½ab sinC=2R²sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA

      注:其中R为外切圆半径.

  9).根据向量求面积：

      S= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）²