两个瓶盖换一瓶可乐问题

问题描述

无意间想起了这样一个问题：
一块钱可以买1瓶可乐，两个瓶盖子可以又可以换一瓶可乐，问，现在有十块钱，最多可以喝多少瓶可乐？

背景

相信这个问题应该有不少人问过，而且，面试编程的时候居然也有人问这种问题。刚认真思考了一下，得出答案如下：

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方法一

分析:

首先，10块钱一次性可以买10瓶，单拿出一瓶，而从剩下的9瓶中，每次拿出一个瓶盖和这个瓶盖就可以再换一瓶可乐，并且得到一个瓶盖，即，一共可以换得：

1+2*(10-1)=19(瓶)

如果是y元，那则一共可以换得：

1+2*(y-1)=2*y-1(瓶)

似乎，这样就算做完了，那么问题来了，如果现在是2块钱一瓶呢？这个问题可以划归为1块钱一瓶，而一共有[y/2]的问题，中括号是取整的意思。

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那再进一步扩展，那如果是三个瓶盖换一瓶可乐呢？咋一看问题似乎有点复杂，我第一时间的想法是：
直接按照正常人的思维，10块钱可以买10瓶，然而得到的盖子可以换3瓶可乐，并且剩余一个盖子，再把剩下的这个盖子和新得到的3个盖子换1瓶可乐，剩余1＋1＝2个盖子，如此往复，当剩余的盖子数目小于3时，程序终止。

如下过程：

10      %   3 = 3......1(3+1)   %   3 = 1......1(1+1)         <3, 程序终止。 //最后得到10+3+1个盖子。

代码我就不上了，很简单，可以用递归或者循环解决。

但是再仔细一想，这个应该也可以求得其通项。

分析：

一次性可以买10瓶，先拿出1个盖子，剩下得9＝2＊4＋1个盖子，每两个盖子和这个盖子组合就可以换一瓶新的可乐，并且得到一个新盖子，即一共还可以再换得4瓶，最后剩余两个盖子，最后，一共可以换得：

10 + [(10-1)/2] = 14（瓶）

相应的，如果时k个盖子可以换一瓶可乐，n元可以换得的瓶子数的通项就是：

n+[(n-1)/(k-1)]         //中括号表示取整

再进一步扩展，如果除了盖子，空的瓶子也能换可乐呢？比如 m个瓶子换一瓶可乐，那通项应该是：

n+[(n-1)/(k-1)] +[(n-1)/(m-1)]  

当然还可以继续扩展其他的问题。个人感觉只要静心思考，应该都能想出来的。这里就不再叙述了。

说点题外话，刚看完一部电影，《怦然心动》，很经典的电影了，很好看，不过跟之前想想的不同，大家想看的可以点击这里