hdu5396 2015多校第九场 区间dp

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5396

题意：给你n个数和n-1个操作符（2<=n<=100），问你不断地每次给操作符的左右相邻的两个数加括号，直到最后只剩一个数为止，问你不同的方案的所有最终剩下一个数的和是多少。在一次取操作符时只要操作符的位置不相同就算一种方案。如果有n个操作符的话肯定有n!种方案。

思路：看到n比较小。。。不是搜索就是区间dp。。。显然，搜索是n！种方案，算到量子计算机被研制出来都算不出来。。。那肯定区间dp了。。既然是dp，那么状态方程和转移明了了，这道题就可解了。。。

设dp[i][j]为第i个数到第j个数的所有方案的和，那么假设我们已经枚举到区间i,j（i < j），对于加法和减法这两种情况是类似的，我们考虑第k个操作符（i<=k<j,假设k这个操作符是最后一次做的，两边的操作符都已经完成了），有

dp[i][j] += (dp[i][k] * A[j - (k + 1)] % mod + dp[k + 1][j] * A[k - i] % mod) % mod * C[j - i - 1][k - i] % mod

其中A数组储存阶乘值，C数组储存组合值。

为什么要乘以阶乘？对于左边的i到k来说，假设右边有n个符号，那么右边肯定有n！种方案，对于每个方案都要加上左边的总和，所以要乘以一个阶乘。同理右边。。。。

为什么要乘以一个组合数？因为第k个操作符是最后取的，那么假设左边有n个操作符，右边有m个操作符，这么操作符取的顺序不同，最后的方案数也是不同的，所以我们把n+m个看作是取的顺序的位置，C[n + m][n]就相当与左边那些操作符放在哪些顺序的位置上。。。。

乘法的转移方程稍微有些不同，

dp[i][j] += (dp[i][k] * dp[k + 1][j] % mod) * C[j - i - 1][k - i] % mod就行了

代码：