CLRS 7.2快速排序的性能

7.2-1
这里只证明上界，下界可类似证明。
猜测 T(n)≤cn2

T(n)=T(n−1)+dn≤c(n−1)2+dn=cn2−2cn+c+dn=cn2+(d−2c)n+c≤cn2(2c>d,n≥c/(2c−d))

综合上下界有T(n)=Θ(n2)

7.2-2
由于每次都返回 r，因此划分十分不平衡，时间复杂度为Θ(n2)。

7.2-3
类似7.2-2，每次划分十分不平衡，时间复杂度为Θ(n2)。

7.2-4
显然，排序越好，对插入排序也好，对快排越差，原理类似于7.2-2和7.2-3，所以INSERT_SORT性能往往比QUICKSORT好。

7.2-5
每次迭代元素个数都从 n 变为 αn。迭代 i 次过后变为 αin。当到达叶子结点是就只有一个元素，设深度为 h，则αhn=1⇒h=logα1n=log1/αn=lgnlg(1/α)=−lgnlgα。
同理得到最大深度log1/(1−α)n=−lgnlg(1−α)。

7.2-6
要产生一个比 1−α:α 更好的划分，选择 pivot 时要么划分比 αn 更多的元素，要么划分比 (1−α)n 更少的元素。即 αn<x<(1−α)n，此概率为 (1−α)n−αnn=1−2α。