hdu 2255 奔小康赚大钱(KM算法)
来源:互联网 发布:淘宝网广场舞 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 11:08
hdu 2255 奔小康赚大钱
Description
传说在遥远的地方有一个非常富裕的村落,有一天,村长决定进行制度改革:重新分配房子。
这可是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住(如果有老百姓没房子住的话,容易引起不安定因素),每家必须分配到一间房子且只能得到一间房子。
另一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.由于老百姓都比较富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比如有3间房子,一家老百姓可以对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).现在这个问题就是村领导怎样分配房子才能使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).
Input
输入数据包含多组测试用例,每组数据的第一行输入n,表示房子的数量(也是老百姓家的数量),接下来有n行,每行n个数表示第i个村名对第j间房出的价格(n<=300)。
Output
请对每组数据输出最大的收入值,每组的输出占一行。
Sample Input
2
100 10
15 23
Sample Output
123
(转)
【KM算法及其具体过程】
(1)可行点标:每个点有一个标号,记lx[i]为X方点i的标号,ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W,则这一组点标是可行的。特别地,对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j, W),称为可行边;
(2)KM 算法的核心思想就是通过修改某些点的标号(但要满足点标始终是可行的),不断增加图中的可行边总数,直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止,此时这个 匹配一定是最佳的(因为由可行点标的的定义,图中的任意一个完全匹配,其边权总和均不大于所有点的标号之和,而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所 有点的标号之和,故这个匹配是最佳的)。一开始,求出每个点的初始标号:lx[i]=max{e.W|e.x=i}(即每个X方点的初始标号为与这个X方 点相关联的权值最大的边的权值),ly[j]=0(即每个Y方点的初始标号为0)。这个初始点标显然是可行的,并且,与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边;
(3)然后,从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同,只是要注意两点:一是只找可行边,二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来(可以用vst搞一下),以进行后面的修改;
(4) 增广的结果有两种:若成功(找到了增广轨),则该点增广完成,进入下一个点的增广。若失败(没有找到增广轨),则需要改变一些点的标号,使得图中可行边的 数量增加。方法为:将所有在增广轨中(就是在增广过程中遍历到)的X方点的标号全部减去一个常数d,所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d,则 对于图中的任意一条边(i, j, W)(i为X方点,j为Y方点):
<1>i和j都在增广轨中:此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变,也就是这条边的可行性不变(原来是可行边则现在仍是,原来不是则现在仍不是);
<2>i在增广轨中而j不在:此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d,也就是原来这条边不是可行边(否则j就会被遍历到了),而现在可能是;
<3>j在增广轨中而i不在:此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d,也就是原来这条边不是可行边(若这条边是可行边,则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i),此时i就会被遍历到),现在仍不是;
<4>i和j都不在增广轨中:此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变,也就是这条边的可行性不变。
这 样,在进行了这一步修改操作后,图中原来的可行边仍可行,而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少?显然,整个点标不能失去可行性,也 就是对于上述的第<2>类边,其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变,故取所有第<2>类边的 (lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性,另一方面,经过这一步后,图中至少会增加一条可行边。
(5)修改后,继续对这个X方点DFS增广,若还失败则继续修改,直到成功为止;
(6)以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法,时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改O(n)次顶标,每次修改顶 标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack,每次开 始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时,如果它不在相等子图中,则让slack[j]变成原值与 A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样,在修改顶标时,取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点:修 改顶标后,要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d
题目大意:中文题。
解题思路:KM算法模板题,用来熟悉巩固KM算法。
#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>#include <cstdlib>using namespace std;const int N = 305;const int INF = 0x3f3f3f3f;typedef long long ll;int W[N][N];int Lx[N], Ly[N];int left[N];bool S[N], T[N];int n;bool match(int i) { S[i] = true; for (int j = 1; j <= n; j++) { if (Lx[i] + Ly[j] == W[i][j] && !T[j]) { T[j] = true; if (!left[j] || match(left[j])) { left[j] = i; return true; } } } return false;}void update() { int a = INF; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!S[i]) continue; for (int j = 1; j <= n; j++) { if (T[j]) continue; a = min(a, Lx[i] + Ly[j] - W[i][j]); } } for (int i = 1; i <= n; i++) { if (S[i]) Lx[i] -= a; if (T[i]) Ly[i] += a; }}void KM() { //初始时为了使Lx[i]+Ly[j]>=W[i, j]恒成立,令Lx[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权,Ly[j]=0 for (int i = 1; i <= n; i++) { left[i] = Lx[i] = Ly[i] = 0; for (int j = 1; j <= n; j++) { Lx[i] = max(Lx[i], W[i][j]); } } for (int i = 1; i <= n; i++) { while (1) { for (int j = 1; j <= n; j++) S[j] = T[j] = 0; if (match(i)) break; else update(); } }}void input() { for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { scanf("%d", &W[i][j]); } }}void solve() { KM(); int ans = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (left[i]) { ans += W[left[i]][i]; } } printf("%d\n", ans);}int main() { while (scanf("%d", &n) != EOF) { input(); solve(); } return 0;}
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