【九度OJ1373】|【剑指offer32】整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

aqia358 发布于 2年前，共有 0 条评论

题目描述：

亲们！！我们的外国友人YZ这几天总是睡不好,初中奥数里有一个题目一直困扰着他,特此他向JOBDU发来求助信,希望亲们能帮帮他。问题是：求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。

输入：

输入有多组数据,每组测试数据为一行。

每一行有两个整数a,b(0<=a,b<=1,000,000,000)。

输出：

对应每个测试案例,输出a和b之间1出现的次数。

样例输入：

0 51 1321 5531 99

样例输出：

1647

分析：

次题为编程之美上的经典例题从0开始到某个数N有多少个1的变形;

方法一：
遍历0到N的每个数统计每个数中1出现的个数，但是这个算法的致命问题是效率，它的时间复杂度是O(N)*计算一个整数数字里面“1”的个数的复杂度=O(N*logN)

方法二：（参考：http://blog.csdn.net/zcsylj/article/details/6393315）

  仔细分析这个问题，给定了N，似乎就可以通过分析“小于N的数在每一位上可能出现1的次数”之和来得到这个结果。让我们来分析一下对于一个特定的N，如何得到一个规律来分析在每一位上所有出现1的可能性，并求和得到最后的f(N)。

先从一些简单的情况开始观察，看能不能总结出什么规律。

     先看1位数的情况。

      如果N=3，那么从1到3的所有数字：1、2、3，只有个位数字上可能出现1，而且只出现1次，进一步可以发现如果N是个位数，如果N>=1，那么f(N)都等于1，如果N=0，则f(N)为0。

     再看2位数的情况。

     如果N=13，那么从1到13的所有数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，个位和十位的数字上都可能有1，我们可以将它们 分开考虑，个位出现1的次数有两次：1和11，十位出现1的次数有4次：10、11、12和13，所以f(N)=2+4=6。要注意的是11这个数在十位和个位都出现了1，但是11恰好在个位为1和十位为1中被计算了两次，所以不用特殊处理，是对的。再 考虑N=23的情况，它和N=13有点不同，十位出现1的次数为10次，从10到19，个位出现1的次数1、11、21，所以f(N)=3+10=13。 通过对两位数进行分析，我们发现，个位出现1的次数不仅和个位数字有关，还和十位数有关：如果N的个位数大于等于1，则个位出现1的次数为十位数的数字加 1；如果N的个位数为0，则个位出现1的次数等于十位数的数字。而十位数字上出现1的次数不仅和十位数有关，还和个位数有关：如果十位数字等于1，则十位 数上出现1的次数为个位数的数字加1；如果十位数大于1，则十位数上出现1的次数为10。

     例如：

            f(13)=个位出现1的个数+十位出现1的个数=2+4=6；

            f(23)=个位出现1的个数+十位出现1的个数=3+10=13；

            f(33)=个位出现1的个数+十位出现1的个数=4+10=14；

              ……

            f(93)=个位出现1的个数+十位出现1的个数=10+10=20；

 

     接着分析3位数。

      如果N=123:

     个位出现1的个数为13：1，11，21，…，91，101，111，121

     十位出现1的个数为20：10~19，110~119

      百位出现1的个数为24：100~123

     f(123)=个位出现1的个数+十位出现1的个数+百位出现1的次数=13+20+24=57；

     同理我们可以再分析4位数、5位数。

    读者朋友们可以写一写，总结一下各种情况有什么不同。

 

     根据上面的一些尝试，下面我们推导出一般情况下，从N得到f(N) 的计算方法：

     假设N=abcde，这里a、b、c、d、e分别是十进制数N的各个位数上的数字。如果要计算百位上出现1的次数，它将会受到三个因素的影响：百位上的数字，百位以下(低位)的数字，百位(更高位)以上的数字。

     如果百位上的数字为0，则可以知道，百位上可能出现1的次数由更高位决定，比如12013，则可以知道百位出现1的情况可能是100~199，1 100~1 199，2 100~2 199，…，11 100~11 199，一共有1200个。也就是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）*当前位数（100）。

      如果百位上的数字为1，则可以知道，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，也就是由更高位和低位共同决定。例如对于12113，受更高位影响，百位出现1的情况是100~199，1 100~1 199，2 100~2 199，…，11 100~11 199，一共有1200个，和上面第一种情况一样，等于更高位数字（12）*当前位数（100）。它还受低位影响，百位出现1的情况是12 100~12 113，一共114个，等于低位数字（113）+1。这里应该是13+1吧

     如果百位上数字大于1（即为2~9），则百位上可能出现1的次数也仅由更高位决定，比如12 213，则百位出现1的可能性为100~199，1 100~1 199，2 100~2 199，…，11 100~11 199，12 100~12 199，一共有1300个，并且等于更高位数字+1（12+1）*当前位数（100）。

      通过上面的归纳和总结，我们可以写出如下的更高效算法来计算f(N)：

   ‍其算法思路是：通过对数字进行有规律的总结，发现从1到N，中出现的所有的1的总数。可以从N这个数总结出来的。

      那么出现1的总数应该等于，个位上出现1的次数+十位上出现1的次数+百位上出现1的次数+。。。。。。

     所以对于一个数abcde，取百位上的c来计算，

              假若c是"1",那么百位上1的个数是由他的高位和低位来决定的。等于ab*100+cde+1;不应该是cde吧，应该是de

              假若c是"0",那么百位上1的个数是ab*100；

               假如c是大于1，那么 百位上1的个数是（ab+1）*100；

复杂度高的方法：

/*N = abcde 百位上数字是c 仅以求百位上出现1的情况为例。 */  int count = 0;  //百位上数字为0,百位上可能出现1的次数由更高位决定  if(c == 0){      //等于更高位数字（ab）* 当前位数（100）      count += ab*100;  }  //百位上数字为1,百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低位影响  else if(c == 1){      //更高位数字（ab） *  当前位数（100） + 低位数字（de）+1      count += ab*100 + de + 1;  }  //百位上数字大于1（2~9）,百位上出现1的情况仅由更高位决定  else{      //（更高位数字+1（ab+1））* 当前位数（100）      count += (ab + 1) * 100;  }  

本文所说的方法：

#include<stdio.h>    long long int Count(long long int n){      //1的个数      long long int count = 0;      //当前位      long long int Factor = 1;      //低位数字      long long int LowerNum = 0;      //当前位数字      long long int CurrNum = 0;      //高位数字      long long int HigherNum = 0;      if(n <= 0){          return 0;      }      while(n / Factor != 0){          //低位数字          LowerNum = n - (n / Factor) * Factor;          //当前位数字          CurrNum = (n / Factor) % 10;          //高位数字          HigherNum = n / (Factor * 10);          //如果为0,出现1的次数由高位决定          if(CurrNum == 0){              //等于高位数字 * 当前位数              count += HigherNum * Factor;          }          //如果为1,出现1的次数由高位和低位决定          else if(CurrNum == 1){              //高位数字 * 当前位数 + 低位数字 + 1              count += HigherNum * Factor + LowerNum + 1;          }          //如果大于1,出现1的次数由高位决定          else{              //（高位数字+1）* 当前位数              count += (HigherNum + 1) * Factor;          }          //前移一位          Factor *= 10;      }      return count;  }    int main(){      long long int a;      while(scanf("%lld",&a) != EOF){          printf("%lld\n",Count(a));      }      return 0;  }  

Java实现：

import java.io.BufferedReader;import java.io.IOException;import java.io.InputStreamReader;import java.io.StreamTokenizer;public class Main {public static int sum(int n){if(n < 1)return 0;int count = 0;int Factor = 1;int LowerNum = 0;int CurrNum = 0;int HigherNum = 0;while(n/Factor != 0){LowerNum = n - (int)Math.floor(n/Factor)*Factor;CurrNum = (n/Factor)%10;HigherNum = n/(Factor*10);switch(CurrNum){case 0:count += HigherNum*Factor;break;case 1:count += HigherNum*Factor + LowerNum + 1;break;default:count += (HigherNum + 1) * Factor;break;}Factor *= 10;}return count;}public static void main(String[] args) throws IOException {StreamTokenizer st = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));while(st.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF){int a = (int) st.nval;st.nextToken();int b = (int) st.nval;if(a < b)System.out.println(sum(b) - sum(a-1));elseSystem.out.println(sum(a) - sum(b-1));}}}