数组的逆序+归并+树状数组+快排

参考博文，代码原创

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采用分治思想，将数组一分为2，先求字数组中的逆序，然后把子数组排好序，再合并有序数组求逆序，即在归并排序的过程中求逆序，算法时间复杂度可以由O(N^2)减为O(logN)

给定n个数，要求这些数构成的逆序对的个数。除了用归并排序来求逆序对个数，还可以使用树状数组来求解。

树状数组求解的思路：开一个能大小为这些数的最大值的树状数组，并全部置0。从头到尾读入这些数，每读入一个数就更新树状数组，查看它前面比它小的已出现过的有多少个数sum，然后用当前位置减去该sum，就可以得到当前数导致的逆序对数了。把所有的加起来就是总的逆序对数。

题目中的数都是独一无二的，这些数最大值不超过999999999，但n最大只是500000。如果采用上面的思想，必然会导致空间的巨大浪费，而且由于内存的限制，我们也不可能开辟这么大的数组。因此可以采用一种称为“离散化”的方式，把原始的数映射为1-n一共n个数，这样就只需要500000个int类型的空间。

离散化的方式：

struct Node

{

int val;

int pos;

};

Node node[500005];

int reflect[500005];

val存放原数组的元素，pos存放原始位置，即node[i].pos = i。

把这些结构体按照val的大小排序。

reflect数组存放离散化后的值，即reflect[node[i].pos] = i。

这样从头到尾读入reflect数组中的元素，即可以保持原来的大小关系，又可以节省大部分空间。

树状数组是一种非常巧妙的数据结构。对于一个普通数组，可以构造出一个对应的树状数组。普通数组中的元素存放的只是本身的信息，但树状数组中的元素存放的却是多个原数组的信息。

对于一个非负整数x，我们可以将它表示为二进制，设它的二进制形式中，结尾的0的个数为k。

对于树状数组，它的x位置上的元素表示的是原数组从x位置开始，往后数2^k个元素的信息（一般是它们的和，也可以是最大值或最小值）。

比如：

x=1时2^k=1，即它只包含本身的信息。其他奇数也一样。

x=2时2^k=2，即它包含2和1位置上的元素信息

x=4时2^k=4，即它包含4、3、2、1位置上的元素信息

x=6时2^k=2，即它包含6和5位置上的元素信息

……

对于x计算出它对应的2^k的方法非常简单，只要通过下面的函数：

int lowbit(int x)

{

return x & (-x);

}

这是一个非常巧妙的函数，对于树状数组的某个位置x而言，x + lowbit(x)表示它的上一级的结点，即包含它的信息的结点，而x - lowbit(x)表示比它小的不被它包含的最大结点。

比如当x=2时，lowbit(x)=2，则x+lowbit(x)=4，表示它的上一级结点是4，因为4包含了4、3、2、1的信息。

当x=7时，lowbit(x)=1，则x-lowbit(x)=6，表示比它小的不被它包含的最大结点是6。

树状数组的主要操作：

1、在某个位置的结点处增加一个值：在改变了原数组中元素的值之后，需要逐步向上修改上一级结点的信息。

2、统计第一个元素到当前元素的和：设置一个表示和的树状数组，然后使用上面的lowbit函数不断查找下一个不被包含的点，把所有的和加起来即可。

3、统计区间和：使用操作2中的方法，用较大的区间减去较小的区间就得到所求区间和了。

</pre><pre name="code" class="cpp">#include <iostream>using namespace std;#define N 500002typedef struct mpair{int data;int id;}mpair;//离散化输入数组到a当中，数据顺序和输入数据保持一致//a中存储输入数据在输入数组中的排序序号mpair inArray[N];int a[N];//树状数组，累计逆序，每一位只加1即可，统计和用于统计数字个数int c[N];void display(mpair *array, int len){int i;for (i = 0; i < len; ++i){cout << array[i].data << " ";}cout << endl;}void displayIntArray(int *array, int len){int i;for (i = 0; i < len; ++i){cout << array[i] << " ";}cout << endl;}//快速排序void quickSort(mpair *array,  int st, int ed){if (st < ed) {int left = st;int right = ed;mpair t = array[left];while (left < right){while (left < right && array[right].data > t.data){--right;}if (left < right){array[left++] = array[right];}while (left < right && array[left].data < t.data){++left;}if (left < right){array[right--] = array[left];}}array[left] = t;quickSort(array, st, left - 1);quickSort(array, left + 1, ed);}}//返回2 ^ k, k为数据t末尾0的个数，用于计算树状数组中节点i的前驱和后继节点int lowbit(int t){return t & (t ^ (t - 1));//return t & (-t);}//idx节点添加数据datavoid addDataTreeArray(int *c, int n, int idx, int data){while (idx <= n){c[idx] += data;idx += lowbit(idx);}}//0-idx区间的累加和int getSumTreeArray(int *c, int n, int idx){int sum = 0;if (idx > n){idx = n;}while (idx > 0){sum += c[idx];idx -= lowbit(idx);}return sum;}void mergeReverse(int *c, int st, int ed, int *a, int &count){if (st < ed){int mid = (st + ed) >> 1;mergeReverse(c, st, mid, a, count);mergeReverse(c, mid + 1, ed, a, count);int i,j,k;i = st;j = mid + 1;k = st;while (i <= mid && j <= ed){if (c[i] < c[j]){a[k++] = c[i++];}else if (c[i] > c[j]){a[k++] = c[j++];++count;}else {a[k++] = c[i++];}}if (i <= mid){count += (mid - i) * (ed - mid);}while (i <= mid){a[k++] = c[i++];}while (j <= ed){a[k++] = c[j++];}//归并排序关键的一步必须把合并后的结果拷贝回原来的数组memcpy(c + st, a + st, (ed - st + 1) * sizeof(int));cout << "st = " << st << " ed = " << ed << endl;    displayIntArray(c, ed - st + 1);cout << endl;}}//归并排序算法求解int mergeReverseNumber(int *c, int n){int *a = new int[n + 1];int count = 0;displayIntArray(c, n);mergeReverse(c, 0, n - 1, a, count);displayIntArray(c, n);cout << endl;delete []a;return count;}int main(){int n;cin >> n;int i;//树状数组下标从1开始便于处理,0节点直接为0for (i = 1;  i <= n; ++i){cin >> inArray[i].data;inArray[i].id = i;}display(inArray, n + 1);cout << endl;quickSort(inArray, 1, n);//离散化到数组a中，如果出现相同的数据则让离散化后的结果一致a[inArray[1].id] = 1;for (i = 2; i <= n; ++i){if (inArray[i].data == inArray[i - 1].data){a[inArray[i].id] = a[inArray[i - 1].id];}else{    a[inArray[i].id] = i;}}display(inArray, n + 1);cout << endl;displayIntArray(a, n + 1);cout << endl;int count = 0;memset(c, 0, sizeof(c));for (i = 1; i <= n; ++i){//树状数组中a[i]节点数据累加1次，累加会向上一级节点延伸，相当于数据a[i]出现了一次addDataTreeArray(c, n, a[i], 1);//input i data, how many data low than i, and how many data large than i after i//输入了i个数据，包括i在内(相等的)前面出现的数据(节点)个数，差值为比i大的数据个数，也即逆序数count += i - getSumTreeArray(c, n, a[i]);}cout << "reverse number is : " << count << endl;cout << endl;cout << "merge sort reverse number is : " << mergeReverseNumber(&(a[1]), n) << endl;return 0;}