两道几何题的求解

题一：求二维平面上，两个圆是否有公切弦，如果有，求出公切线。

在朋友的博客上看到这个问题，别人推导了很优美的公式出来，非常棒，不过推导公式是“一步登天”的思维方式，如果是在比赛中或者正工作中，可能要非常短的时间就要做出来，那么我们就要将步骤分解，尽量能得到有用的参数。2个圆有五种分布状态，简单分析一下：

1. 分离，4条公切线，2外，2内
2. 外相切，3跳公切线，2外，1内
3. 相交，2条公切线，2外
4. 内相切，1条公切线，1外
5. 包含，没有公切线

这三种情况很好区分，比较一下圆的半径和与圆心之间的距离就可以了。假定两个圆是(x1, y1), R1和(x2, y2), R2。这里这描述一下外向切和内向切，

• 外向切，Distance((x1, y1), (x2, y2)) == R1 + R2
• 内相切，Distance((x1, y1), (x2, y2)) == |R1 – R2|

确定状态后，求可以挨个去求了，下面只分析相离的外公切线的情况，其他情况可以套用分析方法。

虚实相交的线是我做的辅助线，可以看出有公切线和辅助线组成了2个直角三角形，且相似，相似！那么
设三角形顶点的位置为(xt, yt)（假设向左衍生）：

x1 – xt / x2 – xt = r1 / r2 ==> xt = (r2x1 – x2r1) / (r2 – r1)

同理可得yt，这样就得到了切线上的一个点，斜率通过长度也可以迅速求出，这样就一步解决了问题。其他的情况用相似三角形手段都能求出。

回顾流程，一共三步:

1. 判断圆的分布
2. 利用相似三角形，求出公切线上一个点
3. 求出斜率

思路清晰，公式少，不易出错。相对与推公式的方法，简单、有效。

题二：给一个三角形，问三角形会不会与圆相交。

题目描述非常简单，难度也不大，是51nod的上一道2等级的题，问想不相交，其实就是问每一条线与圆是不是都没有交点。问题便简化成线段与圆的相交问题，当然很多人用几何的方法去推导公式，什么点到直线的距离，求垂线，然后求交点，再求交点是不是在这个线段上等等。。。

这里我还是想个懒，用工程师的思维去考虑问题。如何找到线段上一个点，这个点到给定点距离最近，我们可以用二分逼近的手段去做，请看下面的图例，H是最终确定的位置，设左右两边点是P1， P2，如果P2到外面点的距离更远一下，我们可以用P1和P2的中点来代替P2，并且代替过后垂线交点的位置一定还在P1，P2中间，所以可以这样一直二分下去，知道直到找到垂线交点（取一个误差范围，小于误差则结束）。
这样做便避免了复杂的求公式的过程，简化了问题的求解难度。

总结一下，计算机就是用来处理简单而大量的计算的，而人是用来想出流程的，需要权衡两者的复杂程度，不能为了节省计算机资源而大量耗费人的脑力，所以，如果枚举行的通，就不要用更高深的东西，毕竟，人生短暂，岂能让韶华易逝！