两道概率题求解（半原创）

问题：任意投n个点在圆周上，问它们同时落在一个半圆上的概率是多少？

 

解： 用O表圆心，从投下的n个点中，任取一个点作起点，顺时针方向进行编号为P₁，P₂，. . .  P _n ，过P₁，P₂ . . . P _n作n条半径，用X₁，X₂，. . . X _n表相应的圆心角的值。易知有X₁，X₂，. . . X _n > 0 ，且：  X₁ + X₂ + . . . + X n = 1   （#）  式中的1表示360 ^o 。从（#）易知：P₁，P₂，. . . ，Pn， 同在一个半圆上， 当且仅当（#）式中 有一个X_i> 1/2（i = 1 ，2，. . .，n ）。先考虑X₁ > 1/2 的概率，为此过P₁作直径P₁OP，易知此时P₂，P₃，. . . Pn都落在顺时针方向的半圆弧PP₁上，显然，此事件的概率是1/2^n-1；再考虑X₂ > 1/2的概率， 过P₂作直径P₂OP，易知，此时P₃，P₄，. . . ，Pn， P₁都落在顺时针方向的半圆弧POP₂上，同样，此事件的概率也是1/2^n-1 ；. . . ；最后，考虑X _n > 1/2的概率，过Pn作直径PnOP，易知，此时P₁，P₂，. . .P_n-1都落在顺时针方向的半圆弧POPn上，此事件的概率也是1/2^n-1。注意到以上n个事件互不相容，（因不同的X_i ，X_j > 1/2，导致X_i = X_j = 1/2 ，且其它X_k = 0 ，这是0概率事件，可不考虑）。又注意到以上论证所得结论，与最先取哪一个点为P₁无关。所以，n个点落在同一半圆上的总概率是n/2^n-1 。（利用概率的可加性）

附R的概率模拟程序：（考虑四点的情况）

result<-rep(0,10000)for(q in 1:10000){i<-0for(p in 1:1000){a<-runif(4,max=2)r<-range(a)[2]-range(a)[1]if(r<1)i<-i+1}print(i/1000)result[q]<-i/1000}mean(result)

问题：求球面上n个均匀随机分布的点落在同一半球的概率。

解：因为是均匀分布，所以取到每个点的概率密度与取到其对径点的概率密度是一样的。每个点都有一个对径点，这样便有n对点。在每对点中各取一点，共有2^n中取法，每种取法的概率密度是相同的。现在只要计算这2^n 种取法中，有多少种取法[记为F(n)]是落在同一半球上的，则所求概率为F(n)/2^n 。

上面有个假设，即认为F(n)的值只与n有关，而跟n个点的具体位置无关。这个是可以证明的（忽略两点重合，三点共大圆的零概率情况）。而且，还可以证明，F(n)等于球面上n个大圆（任意两个大圆不重合，任意三个大圆不共点）把球面分割成小片的片数。这个数目等于
n^2 - n + 2。于是所求概率等于 (n^2-n+2) /2^n 。