数据结构堆的实现

堆的概念

堆（英语：heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的定义如下：n个元素的序列{k1,k2,ki,…,kn}当且仅当满足下关系时，称之为堆。
(ki <= k2i,ki <= k2i+1)或者(ki >= k2i,ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4...n/2)
若将和此次序列对应的一维数组（即以一维数组作此序列的存储结构）看成是一个完全二叉树，则堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子结点的值。由此，若序列{k1,k2,…,kn}是堆，则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。

堆的二叉树和数组表示如下，注意数组下标从1开始，这样对于下标为k的元素a[k]，如果其存在父节点，其父节点就可表示为a[k/2]，k/2取整数。

堆的操作

三个问题：

堆的插入

堆的调整

建堆

堆的插入

将一个新元素插入建好的堆中

建堆

不必将值一个个地插入堆中，通过交换形成堆。假设根的左、右子树都已是堆，并且根的元素名为R。这种情况下，有两种可能：
（1） R的值小于或等于其两个子女，此时堆已完成；
（2） R的值大于其某一个或全部两个子女的值，此时R应与两个子女中值较小的一个交换，结果得到一个堆，除非R仍然大于其新子女的一个或全部的两个。这种情况下，我们只需简单地继续这种将R“拉下来”的过程，直至到达某一个层使它小于它的子女，或者它成了叶结点。

下图展示了建堆过程

建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，一直到第一个节点，此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处一直调用调整堆的过程。上图依次以87、72、83为父节点调整。87只有一个儿子9,9比87小，不用调整;然后72有两个儿子30、49，都比72小，不用调整;然后83有两个儿子，91最大且大于83,这样就要把83提下来，91升上去。

然后是节点43,43比87小，43提下去，87升上来，43比9大，不用调整;然后是66,两个儿子91和72都比66大，和较大的91交换位置，66下去，91上来，然后66又比83小，66下去，83上来;然后是节点79,79的两个儿子91和87都比它大，91上去，79下来，然后79有两个儿子，83和72,83大于79,83上去，79下来，然后79的两个儿子55和66都比79小，结束。

调整

每次从堆顶取走最大值或最小值后要使剩余的元素成堆，如何调整呢？可以将最后一个元素推到堆顶，然后自堆顶向下调整，和建堆时的调整类似，就不多说了。

堆的实现

// heap.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。//#include "stdafx.h"#include<vector>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;#define LARGENUM 1000000class Heap{private:vector<int> array;int find(int tofind){vector<int>::iterator it;it = std::find(array.begin(), array.end(), tofind);return it == array.end() ? -1 : it - array.begin();}public:Heap()//构造{array.push_back(LARGENUM);//哨兵}void insert(const int val)//插入{_ASSERTE(val < LARGENUM);array.push_back(val);int index = array.size() - 1;while (array[index] > array[index / 2]){array[index] = array[index/ 2];array[index / 2] = val;index = index / 2;}}bool erase(int val)//删除{int index = find(val);if (index < 0)return false;array[index] = array.back();array.pop_back();while (index * 2 < array.size()){int t = array[index];if (2 * index + 1 < array.size()){if (array[index] > array[2 * index] && array[index] > array[2 * index + 1])return true;int nn = array[2 * index + 1] > array[2 * index] ? 2 * index + 1 : 2 * index;array[index] = array[nn];array[nn] = t;index = nn;}else{if (array[index] > array[2 * index])return true;int t = array[index];array[index] = array[2 * index];array[2 * index] = t;return true;}}}int top()//返回堆顶{_ASSERTE(array.size() != 1);return  array[1];}void pop()//弹出堆顶{_ASSERTE(array.size() != 1);array[1] = array.back();array.pop_back();int index = 1;while (index * 2 < array.size()){int t = array[index];if (2 * index + 1 < array.size()){if (array[index] > array[2 * index] && array[index] > array[2 * index + 1])return;int nn = array[2 * index + 1] > array[2 * index] ? 2 * index + 1 : 2 * index;array[index] = array[nn];array[nn] = t;index = nn;}else{if (array[index] > array[2 * index])return;int t = array[index];array[index] = array[2 * index];array[2 * index] = t;return;}}}bool empty(){return array.size() == 1;}int size()//返回堆的大小{return array.size() - 1;}};int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){Heap h;h.insert(10);h.insert(35);h.insert(19);h.insert(5); h.insert(2); h.insert(51);h.insert(37);h.insert(7);h.insert(45);h.insert(63);cout << h.size() << endl;cout << h.top()<< endl;h.pop();cout << h.size() << endl;cout << h.top() << endl;h.erase(45);system("pause");return 0;}

stl没有直接的堆数据结构，不过可以用algorithm头文件里的算法以vector为底层数据结构构建堆

#include "stdafx.h"#include <iostream>  #include <algorithm>  #include <vector>  using namespace std;bool cmp(int a, int b) //比较函数{return a > b;}int main(){int myints[] = { 10, 20, 30, 5, 15 };vector<int> v(myints, myints + 5);vector<int>::iterator it;make_heap(v.begin(), v.end(),cmp);//male_heap就是构造一棵树，使得每个父结点均大于等于其子女结点  cout << "initial max heap   : " << v.front() << endl;/* */pop_heap(v.begin(), v.end(),cmp);//pop_heap不是删除某个元素而是把第一个和最后一个元素对调后[first,end-1]进行构树，最后一个不进行构树  v.pop_back();//删除最后一个的结点  cout << "max heap after pop : " << v.front() << endl;v.push_back(99);//在最后增加一个结点  push_heap(v.begin(), v.end(),cmp);//重新构树  cout << "max heap after push: " << v.front() << endl;sort_heap(v.begin(), v.end(),cmp);//把树的结点的权值进行排序  /*for(int j=0;j<v.size();j++)cout<<v[j]<<' ';cout<<endl;*/cout << "final sorted range :";for (unsigned i = 0; i<v.size(); i++)cout << " " << v[i];cout << endl;return 0;}

cmp为比较函数，可选。