后缀数组
来源:互联网 发布:网络百家家乐公式赢钱 编辑:程序博客网 时间:2024/04/27 17:26
1.建立后缀数组
//倍增思想:分治。//将字符串分割成等长两个字符串,合并只需要O(n),总复杂度O(n*logn)const int maxn = 100000;char s[maxn];int sa[maxn],t[maxn],t2[maxn],c[maxn],n;void build_sa(int m){ int i,*x=t,*y=t2; for(i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++; for(i=0;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];//c[i]:ASICC码前i+1的字符个数 for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i;//将第i个字符的下标填入后缀数组 for(int k=1;k<=n;k<<=1){ int p=0; //对第二关键字排序,加入y数组 //y[i]:倍增元素中第二关键字第i大的的元素在新字符串中的位置(以第一关键字开头) for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i;//最后k位的第二关键字均为0 for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;//前n-k位的第二关键字按照sa值的大小依次加入到y数组,即按照本身字典序从小到大加入y数组 //对第一关键字排序,对比字符排序:先按字符排序,再按下标排序 //此处是先按x大小(第一关键字)排序,再按y大小(第二关键字)排序 for(i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++; for(i=0;i<m;i++) c[i]+=c[i-1]; for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i]; //求出新的rank值加入x数组 //用交换指针完成数组交换 swap(x,y); p=1; x[sa[0]]=0; for(i=1;i<n;i++)//完全相同则赋相同值,否则赋不同值,按照字典序递增序赋值 x[sa[i]]=y[sa[i-1]]==y[sa[i]]&&y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k]?p-1:p++; if(p>=n) break;//接下来的比较将没有相同字符串,因此不需要再倍增比较 m=p; }}
2.求出height数组
height[i]:在后缀数组中排第i的后缀与排第i-1的后缀的LCP
辅助数组h[i]:以第i个字符开头的字符串与后缀数组中前一个后缀的LCP
性质:h[i]>=h[i-1]+1; h[i]=height[rank[i]]
利用该性质可以在O(n)复杂度内求解h[i],进而求解height[i]
int Rank[maxn],height[maxn];void getH(){ int k=0; for(int i=0;i<n;i++) Rank[sa[i]]=i; for(int i=0;i<n;i++){ if(k) k--; int j=sa[Rank[i]-1]; while(s[i+k]==s[j+k]) k++; height[Rank[i]]=k; }}
例题
1.求不相交的最长重复子串
二分答案+后缀数组。
二分答案k。判断是否有长度为k的重复不相交子串。
技巧:将height数组以值
const int maxn = 200000+10;int s[maxn];int sa[maxn],t[maxn],t2[maxn],c[maxn],n;void build_sa(int m){ int i,*x=t,*y=t2; for(i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++; for(i=0;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];//c[i]:ASICC码前i+1的字符个数 for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i;//将第i个字符的下标填入后缀数组 for(int k=1;k<=n;k<<=1){ int p=0; //对第二关键字排序,加入y数组 //y[i]:倍增元素中第二关键字第i大的的元素在新字符串中的位置(以第一关键字开头) for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i;//最后k位的第二关键字均为0 for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;//前n-k位的第二关键字按照sa值的大小依次加入到y数组,即按照本身字典序从小到大加入y数组 //对第一关键字排序,对比字符排序:先按字符排序,再按下标排序 //此处是先按x大小(第一关键字)排序,再按y大小(第二关键字)排序 for(i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++; for(i=0;i<m;i++) c[i]+=c[i-1]; for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i]; //求出新的rank值加入x数组 swap(x,y); p=1; x[sa[0]]=0; for(i=1;i<n;i++)//完全相同则赋相同值,否则赋不同值,按照字典序递增序赋值 x[sa[i]]=y[sa[i-1]]==y[sa[i]]&&y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k]?p-1:p++; if(p>=n) break;//接下来的比较将没有相同字符串,因此不需要再倍增比较 m=p; }}int Rank[maxn],height[maxn];void getH(){ int k=0; for(int i=0;i<n;i++) Rank[sa[i]]=i; for(int i=0;i<n;i++){ if(k) k--; int j=sa[Rank[i]-1]; while(s[i+k]==s[j+k]) k++; height[Rank[i]]=k; }}bool judge(int x){ int minn=sa[0],maxx=sa[0]; for(int i=1;i<n;i++){ if(height[i]<x) maxx=minn=sa[i]; else{ maxx=max(maxx,sa[i]); minn=min(minn,sa[i]); if(maxx-minn>=x) return true; } } return false;}int main(){ //freopen("a.txt","r",stdin); while(scanf("%d",&n)!=EOF){ if(n==0) break; for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&s[i]); if(n<10) { printf("0\n"); continue; } for(int i=0;i<n-1;i++) s[i]=s[i+1]-s[i]+90; build_sa(200); getH(); int l=0,r=n; while(l<r){ int m=(l+r+1)>>1; if(judge(m)) l=m; else r=m-1; } if(l<4) printf("0\n"); else printf("%d\n",l+1); } return 0;}
2.最长可重叠k次重复子串
二分答案+划分height数组
二分长度L,划分height数组,看是否存在一组个数大于L
const int maxn = 20000+10;const int maxm = 1000000+10;int n,k;int s[maxn];int sa[maxn],t[maxn],t2[maxn];int c[maxm];void build_sa(int m){ int i,*x=t,*y=t2; for(i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++; for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1]; for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i; for(int k=1;k<=n;k<<=1){ int p=0; for(int i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i; for(int i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k; for(i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++; for(i=0;i<m;i++) c[i]+=c[i-1]; for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i]; swap(x,y); p=1; x[sa[0]]=0; for(i=1;i<n;i++) x[sa[i]]=y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]?p-1:p++; if(p>=n) break; m=p; }}int Rank[maxn],height[maxn];void getH(){ int k=0; for(int i=0;i<n;i++) Rank[sa[i]]=i; for(int i=0;i<n;i++){ if(k) k--; int j=sa[Rank[i]-1]; while(s[i+k]==s[j+k]) k++; height[Rank[i]]=k; }}bool judge(int x){ int num=1; for(int i=1;i<n;i++){ if(height[i]<x) num=1; else num++; if(num>=k) return true; } return false;}int main(){ //freopen("a.txt","r",stdin); scanf("%d%d",&n,&k); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&s[i]); build_sa(1000000); getH(); int l=0,r=n; while(l<r){ int m=(l+r+1)>>1; if(judge(m)) l=m; else r=m-1; } printf("%d\n",l); return 0;}
3.求本质不同的子串个数
解法:重复子串即为某两个后缀的公共前缀,因此只要在计算时舍去公共前缀即可。相同的公共前缀只舍去一次,因此只需要在字典序最接近的两个字符串间舍去即可。
此题必须要在末尾加上一个字典序最小的数才能通过,不然sa数组回求错。build_sa时需要用l+1代替l。
最终有用的sa[1…l],Rank[0…l-1],height[1…l]
sa[0]=l,无意义
height[0]=0,无意义
虽然height[1]=0,但是这是有意义的,表示它是字典序最小的字符串
const int maxn = 100000;char s[maxn];int sa[maxn],t[maxn],t2[maxn],c[maxn];void build_sa(int n,int m){ int i,k,*x=t,*y=t2,*t; for(i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++; for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1]; for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i; for(k=1;k<=n;k<<=1){ int p=0; for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i; for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k; for(i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++; for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1]; for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i]; swap(x,y); p=1; x[sa[0]]=0; for(i=1;i<n;i++) x[sa[i]]=(y[sa[i-1]]==y[sa[i]]&&y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k])?p-1:p++; if(p>=n) break; m=p; }}int Rank[maxn],height[maxn];void getH(int n){ int i,j,k=0; for(i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i; for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k) for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++); return ;}int slove(int n){ int sum=0; for(int i=1;i<=n;i++) sum+=n-sa[i]-height[i]; return sum;}int main(){ int t; //freopen("a.txt","r",stdin); scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%s",s); int l=strlen(s); build_sa(l+1,130); getH(l); printf("%d\n",slove(l)); } return 0;}
4.求最长回文串
解法:将原串倒置,插入到原串后面,并在中间插入一个与原串不同的字符。然后求对应位置的LCP,即求对应区间的height最小值,这个先用RMQ预处理,O(1)询问即可。注意求后缀树组中[l,r]区间LCP等价于求height数组中的[l+1,r]最小值,而不是[l,r]区间最小值!
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<queue>#include<cmath>#include<string>#include<vector>#include<algorithm>#include<map>#include<set>#define ll long longusing namespace std;const int maxn = 5000+10;char ch[maxn];int s[maxn];int sa[maxn],t[maxn],t2[maxn],c[maxn];int n;void build_sa(int n,int m){ int i,k,*x=t,*y=t2; for(i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++; for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1]; for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i; for(k=1;k<=n;k<<=1){ int p=0; for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i; for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k; for(i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++; for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1]; for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i]; swap(x,y); p=1,x[sa[0]]=0; for(i=1;i<n;i++) x[sa[i]]=(y[sa[i-1]]==y[sa[i]]&&y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k])?p-1:p++; if(p>=n) break; m=p; }}int Rank[maxn],height[maxn];void get_H(int n){ int i,j,k=0; for(i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i; for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k) for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++);}int d[maxn][20];void RMQ_init(int a[],int n){ for(int i=1;i<=n;i++) { d[i][0]=a[i]; } for(int j=1;(1<<j)<=n;j++) for(int i=1;(i+(1<<j)-1)<=n;i++) d[i][j]=min(d[i][j-1],d[i+(1<<(j-1))][j-1]);}int RMQ(int L,int R){ int k=0; while((1<<(k+1))<=R-L+1) k++; return min(d[L][k],d[R-(1<<k)+1][k]);}int ans,st;int main(){ //freopen("a.txt","r",stdin); scanf("%s",ch); n=strlen(ch); for(int i=0;i<n;i++) if(ch[i]>='A'&&ch[i]<='Z') s[i]=ch[i]-'A'+27; else s[i]=ch[i]-'a'+1; s[n]=53; for(int i=n+1;i<=2*n;i++) s[i]=s[2*n-i]; s[2*n+1]=0; n=2*n+1; build_sa(n+1,54);//0-53 get_H(n); RMQ_init(height,n); ans=0; for(int i=0;i<n;i++){//奇数回文串 int l=Rank[i],r=Rank[n-1-i]; if(l>r) swap(l,r); int tmp=2*RMQ(l+1,r)-1;//!!!height的含义是i与i-1的LCP,所以求l-r的公共前缀只需要RMQ(l+1,r),而不是RMQ(l,r) if(ans<tmp) ans=tmp,st=i-(tmp+1)/2+1; } for(int i=1;i<n;i++){//偶数回文串 int l=Rank[i],r=Rank[n-i]; if(l>r) swap(l,r); int tmp=2*RMQ(l+1,r); if(ans<tmp) ans=tmp,st=i-tmp/2; } for(int i=st;i<st+ans;i++) printf("%c",ch[i]); printf("\n"); return 0;}
5.求本质不同的回文串
解法:在height数组中遍历,记录当前回文串与其字典序最接近的回文串长度,如果已经加入到ans中,那么减去该部分长度即可。使用vis数组保证只记录一次
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define N maxn#define PII pair<ll,ll>#include<map>#include<vector>#define MP make_pair#include<map>#define ll long long#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;const int maxn = 100000+10;int T;char ch[maxn];int n,s[maxn<<1],sa[maxn<<1],t[maxn<<1],t2[maxn<<1],c[maxn<<1];void build_sa(int n,int m){ int i,k,*x=t,*y=t2; for(i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++; for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1]; for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i; for(k=1;k<=n;k<<=1){ int p=0; for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i; for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k; for(i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++; for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1]; for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i]; swap(x,y); p=1; x[sa[0]]=0; for(i=1;i<n;i++) x[sa[i]]=(y[sa[i-1]]==y[sa[i]]&&y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k])?p-1:p++; if(p>=n) break; m=p; }}int Rank[maxn<<1],height[maxn<<1];void getH(int n){ int i,j,k=0; for(i=1;i<=n;i++) { Rank[sa[i]]=i; } for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k) for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++); return;}int d[maxn<<1][20];void RMQ_init(int a[],int n){ for(int i=1;i<=n;i++) d[i][0]=a[i]; for(int j=1;(1<<j)<=n;j++) for(int i=1;(i+(1<<j)-1)<=n;i++) d[i][j]=min(d[i][j-1],d[i+(1<<(j-1))][j-1]);}int RMQ(int L,int R){ int k=0; while((1<<(k+1))<=R-L+1) k++; return min(d[L][k],d[R-(1<<k)+1][k]);}bool vis[maxn<<1];int ans;int main(){ //freopen("a.txt","r",stdin); scanf("%d",&T); int cas=0; while(T--){ scanf("%s",ch); int l=strlen(ch); for(int i=0;i<l;i++) s[i]=ch[i]-'a'+1; s[l]=27; for(int i=l+1;i<=2*l;i++) s[i]=s[2*l-i]; s[2*l+1]=0; n=2*l+1; build_sa(n+1,28); getH(n); RMQ_init(height,n); int st=INF; memset(vis,0,sizeof(vis)); ans=0; for(int i=1;i<=n;i++){ if(s[sa[i]]==27) continue; st=min(st,height[i]); if(vis[n-1-sa[i]]){ int l=i,r=Rank[n-1-sa[i]]; if(l>r) swap(l,r); int t=RMQ(l+1,r); if(t>st) { ans+=(t-st); st=t; } } else vis[sa[i]]=1; } st=INF; memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=1;i<=n;i++){ if(s[sa[i]]==27) continue; st=min(st,height[i]); if(vis[n-sa[i]]){ int l=i,r=Rank[n-sa[i]]; if(l>r) swap(l,r); int t=RMQ(l+1,r); if(t>st) { ans+=(t-st); st=t; } } else vis[sa[i]]=1; } printf("Case #%d: %d\n",++cas,ans); } return 0;}
- 后缀树/后缀数组
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- 后缀数组
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