欧拉函数

定义：在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

简介：

φ函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互

素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数

φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

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先来介绍几个与欧拉函数有关的定理：

定理一：设m与n是互素的正整数，那么

定理二：当n为奇数时，有。

 

因为2n是偶数，偶数与偶数一定不互素，所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况，则恰好就等于n的欧拉函数值。

定理三：设p是素数，a是一个正整数，那么

 

关于这个定理的证明用到容斥：

 

由于表示小于与互素数的正整数个数，所以用减去与它不互素的数的个数就行了。

那么小于与不互素数的个数就是p的倍数个数，有个。所以定理得证。

定理四：设为正整数n的素数幂分解，那么

 

 

这个定理可以根据定理一和定理三证明，其实用到的就是容斥。如果对容斥熟悉，其实完全就可以直接容斥。

定理五：设n是一个正整数，那么

 

 

这个其实可以看莫比乌斯反演就明白了。

定理六：设m是正整数，(a,m)=1，则：是同于方程的解。

定理七：如果n大于2，那么n的欧拉函数值是偶数。

求欧拉函数值：

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1. int phi(int n)  
2. {  
3.     int i,rea=n;  
4.     for(i=2;i*i<=n;i++)  
5.     {  
6.         if(n%i==0)  
7.         {  
8.             rea=rea-rea/i;  
9.             while(n%i==0)  n/=i;  
10.         }  
11.     }  
12.     if(n>1)  
13.         rea=rea-rea/n;  
14.     return rea;  
15. }  

利用递推法求欧拉函数值：

 

算法原理：开始令i的欧拉函数值等于它本身，如果i为偶数，可以利用定理二变为求奇数的。

若p是一个正整数满足，那么p是素数，在遍历过程中如果遇到欧拉函数值等于自身的情况，那么

说明该数为素数。把这个数的欧拉函数值改变，同时也把能被该素因子整除的数改变。

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1. void phi()  
2. {  
3.     for(int i=1; i<N; i++)  p[i] = i;  
4.     for(int i=2; i<N; i+=2) p[i] >>= 1;  
5.     for(int i=3; i<N; i+=2)  
6.     {  
7.         if(p[i] == i)  
8.         {  
9.             for(int j=i; j<N; j+=i)  
10.                 p[j] = p[j] - p[j] / i;  
11.         }  
12.     }  
13. }  

最后附一下HDU1286的题解便于加深理解：点击打开链接