Catalan数

Catala数的百科见http://baike.baidu.com/link?url=FRJvyLNaLlSgOvesH7twTy-zdeNrENATKUcVuFdWgIhBQtnZJT9vlpK6z-QQZAihGlnHdVcPiSxUWRlGTvGy0HyB_CcTWYOof3AF_3ToxEvXw9m-Aq9z8LrUOz7qpbe3G0wK-WnNLFxnWVK7dlAMca

原文章在此：http://blog.sina.com.cn/s/blog_497689ad01000azu.html，我只是对其中一些内容进行改进和解答。

令h(1)＝1，catalan数满足递归式： 

      h(n)=h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2) 
   该递推关系的解为：h(n)=c(2n-2,n-1)/n(n=1,2,3,...)

 

      推导过程如下:

       问题的由来：编号为 1 到 n 的 n 个元素，顺序的进入一个栈，则可能的出栈序列有多少种？ 

 

      对问题的转化与思考：n 个元素进栈和出栈，总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。问题等价于：n个1和n个0组成一2n位的2进制数，要求从左到右扫描，1的累计数不小于0的累计数，试求满足这条件的数有多少？

      解答： 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C（n 2n）不填1的其余n位自动填以数0。从C（n 2n）中减去不符合要求的方案数即为所求。不合要求的数指的是从左而右扫描，出现0的累计数超过1的累计数的数。不合要求的数的特征是从左而右扫描时，必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个的累计数，和m个1的累计数。此后的2（n－m）－1位上有n－m个1，n－m－1个0。如若把后面这部分2（n－m）－1位，0与1交换，使之成为n－m个0，n－m－1个1，结果得1个由n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n－1个0和n＋1个1组成的一个排列。反过来，任何一个由n＋1个0，n－1个1组成的2n位数，由于0的个数多2个，2n是偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分，令0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，必对应于一个不合要求的数。

 

      用上述方法建立了由n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。

 

       例如 10100101是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位（显示为红色）出现0的累计数3超过1的累计数2，它对应于由3个1，5个0组成的10100010。反过来 10100010对应于 10100101

 

     因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应，故有P2n ＝ C（n 2n）— C（n＋1 2n）

 

     其应用的最典型的三类问题:

1.括号化问题。

矩阵链乘：P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n-1)种)

2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? h(n)

类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)h(n)

3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?   h(n-2)

类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？2*h(n)

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?  h(n)

 4.n个结点可构造多少个不同的二叉树?h(n)

具体分析见 http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6764858，第一次写blog，格式不对，见谅。