第六章 统计量及其抽样分布

1 统计量

统计量：由样本构造一个函数，不依赖任何参数
常用统计量：样本均值（X ¯  ）、样本方差（S 2  ）、样本变异系数（V=SX ¯   ）、样本k阶距、样本k阶中心距、样本偏度、样本峰度
次序统计量：样本极差（最大值减最小值）
充分统计量：统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量。判别定理：因子分解定理

2 由正态分布导出的几个重要分布

1 χ 2  分布

设随机变量X 1 ，X 2 ，...,X n  相互独立，且X i (i−1,2,...,n) 服从标准正态分布N(0,1) ，则它们的平方和∑ n i=1 X 2 i  服从自由度为n 的χ 2  分布。
E(χ 2 )=n;D(χ 2 )=2n 
χ 2  分布具有可加性，即若χ 2 1 ∼χ 2 (n 1 ),χ 2 2 ∼χ 2 (n 2 ) ，且独立，则
χ 1 1 +χ 2 2 ∼χ 2 (n 1 )+χ 2 (n 2 ) 
χ 2  的密度函数如下图所示：

2 t 分布

设随机变量X∼N(0,1),Y∼χ 2 (n) ，且X 与Y 独立，则
t=XY/n − − − −  √   
称为t 分布，记为t(n) ,其中n 为自由度。
当n≥2 时，t 分布的数学期望E(t)=0 
当n≥3 时，t 分布的方差D(t)=nn−2  
t 的密度函数如下图所示：

3 F 分布

设随机变量Y 与Z 相互独立，且Y 和Z 分别服从自由度为m 和n 的χ 2  分布，随机变量X 有如下表达式：
X=Y/mZ/n =nYmZ  
则称X 服从第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布 ，记为F(m,n) 
E(X)=nn=2 ,n>2 
D(X)=2n 2 (m+n−2)m(n−2(n−4)) ,n>4 
F 的密度函数如下图所示：

如果随机变量X 服从t(n) ，则X 2  服从F(1,n)的F 分布。这在回归分析的回归系数检验中有用。

3 样本均值的分布于中心极限定理

当总体分布为正态分布N(μ,σ 2 ) 时，则X ¯  的抽样分布仍为正态分布，期望为μ ，方差为σ 2 /n 。这说明用样本均值X ¯  去估计总体均值μ 时，平均来说没有偏差（无偏性）；当n 越来越大时，X ¯  的散布程度越来越小，即用X ¯  估计mu 越来越准确。
实际情况中，总体的分布不总是正态分布或近似正态分布，此时X ¯  的分布也将取决于总体分布情况。——中心极限定理
中心极限定理：设从均值为μ 、方差为σ 2  （有限）的任意一个总体总抽取样本量为n 的样本，当n 充分大时，样本均值X ¯  的抽样分布近似服从为均值为μ 、方差为σ 2 /n 的正态分布。
注意：什么是当n充分大呢？大样本、小样本之间的区分并不是以样本容量大小来区分的。在样本容量固定的条件下所进行的统计推断、问题分析，不管样本容量有多大，都称为小样本问题，而在样本容量n—>∞的条件下所进行的统计推断、问题分析则称为大样本问题。一般统计学中的n≥30为大样本，n<30为小样本只是一直经验说法。

4 样本比例的抽样分布

如果在样本大小为n的样本中具有某一特征的个体数为X ，则样本比例用p 表示：p=X/n 
则可以用样本比例p 来估计总体比例π 。
当n 充分大时，p ^  的分布可用正态分布去逼近，此时，p ^  服从均值为π 、方差为π(1−π)n  的正态分布，则
p ^ ∼N(π,π(1−π)n ) 

5 两个样本平均值之差的分布

设X 1  ¯  是独立地抽自总体X 1 ∼N(μ 1 ,σ 2 1 ) 的一个容量为n 1  的样本的均值，X 2  ¯  是独立地抽自总体X 1 ∼N(μ 2 ,σ 2 2 ) 的一个容量为n 2  的样本的均值，则有
E(X 1 −X 2 )=μ 1 −μ 2  
D(X 1 −X 2 )=σ 2 1 n 1  +σ 2 2 n 2   
如果两个总体均为正态分布，则X 1 −X 2  也为正态分布；当n 1  和n 2  比较大时，一般要求n1≥30,n2≥30 ，则X 1 −X 2  的抽样分布不管总体分布如何均可用正态分布来近似。

6 关于样本方差的分布

1样本方差的分布

设X 1 ,X 2 ,...,X n  为来自正态分布的样本，则可以推出：
设总体分布为N(μ,σ 2 ) 的正态分布，则样本方差S 2  的分布为：
(n−1)S 2 /σ 2 ∼χ 2 (n−1) 

2 两个样本方差比的分布

设X 1 ,X 2 ,...,X n 1   为来自正态总体N(μ 1 ,σ 2 1 ) 的一个样本，Y 1 ,Y 2 ,...,Y n 1   为来自正态总体N(μ 2 ,σ 2 2 ) 的一个样本，且X i  与Y i  相互独立，则
S 2 x /S 2 y σ 2 1 /σ 2 2  =S 2 x /σ 2 1 S 2 y /σ 2 2  ∼F(n 1 −1,n 2 −1)