HDU 4453 Looploop （2012年杭州赛区现场赛A题）

1.题目描述：点击打开链接

2.解题思路：本题是伸展树的基本题型，不过由于是第一次使用这种数据结构，先补了一下BST和Treap的基础知识，然后才开始学这种数据结构。不难发现，伸展树最基本且最核心的操作就是伸展操作，它能够将一个指定的结点通过旋转操作逐步转为树根。同时由于伸展树本质上也是一种BST，因此同时具备BST的基本功能，比如查询操作。我们每次都把箭头指向的位置作为树根。

首先是建树过程，我们从区间的中间位置开始，把它当做树根，如果m>L，那么递归建立左子树，如果m<R，那么递归建立右子树。这里有一个不太容易理解的地方是，为什么Splay操作不会影响我们查找原来数组中第k个位置的数是谁？因为如果把伸展树看做BST，那么这里的键值是子树的结点数。这样，只要一开始建树是从中间开始建立的，那么结点数的关系就不会改变了：数组下标为i的左子树永远都是i-1个结点，右子树永远都是n-i个结点。而Splay操作也是严格根据BST键值关系来旋转的，所以不会改变结点数目的关系。这样，不管伸展树变成了什么样子，我们都能快速找到原来数组下标为i的那个结点。由此还可以得到如下的推论：执行完Splay(root,1)后，这棵树只有右子树，左子树为空；执行完Splay(root,n)后，这棵树只有左子树，右子树为空。

下面来谈一谈如何利用伸展树来完成题目中给定的6种操作。

1.add X：要求把从箭头指向的位置到右边第k2个位置的所有数都增加X。显然，我们需要一个lazy标记来完成这一操作，不妨设为add。那么首先把k2位置伸展为树根，这样左子树的所有结点和根就是我们要进行add操作的所有结点。对根的value+add，并将左子树的lazy标记+add即可。

2.reverse：要求把从箭头指向的位置到右边第k1个位置的数反转。首先执行Splay(root,k1)，并把它的右子树暂时分开，标记root->flip=1，翻转完毕后再将右子树合并回去。

3.insert X：要求在箭头指向的位置的下一个位置插入X。首先执行Splay(root,1)，这样，只需要在root和root->ch[1]之间插入X即可，同时n++。

4.delete：要求删除箭头指向的位置，并把箭头向右移动一位。首先执行Splay(root,1)，这样，所有结点都在右子树上，只需要把root设置为右子树的根即可，同时n--。

5.move X：当X==1时，将箭头向左移动一位；当X==2时，将箭头向右移动一位。当X==1时，先执行Splay(root,n)，此时所有结点都在左子树上（注意此时a[n]是树根，a[1]已经在左子树上了），把根和左子树分离，同时对左子树执行Splay(tmp,1)（tmp即左子树树根）。然后让左子树成为根的右子树即可，即root->ch[1]=tmp。用同样的方法可以处理右子树。

6.query：输出箭头指向的数字。直接输出root->value即可。

由此，我们成功利用伸展树实现了上述的6种操作。

3.代码：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cassert>#include<string>#include<sstream>#include<set>#include<bitset>#include<vector>#include<stack>#include<map>#include<queue>#include<deque>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<ctime>#include<cctype>#include<functional>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define me(s)  memset(s,0,sizeof(s))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)typedef long long ll;typedef unsigned int uint;typedef unsigned long long ull;typedef pair <int, int> P;const int N=200000+5;int a[N];int n,m,k1,k2;struct Node{    Node*ch[2];    int size;    int value;    int flip,add;    Node();    Node(int);    void pushup()    {        size=ch[0]->size+ch[1]->size+1;    }    void pushdown()    {        if(flip)        {            swap(ch[0],ch[1]);            ch[0]->flip^=1;            ch[1]->flip^=1;            flip=0;        }        if(add)        {            value+=add;            ch[0]->add+=add;            ch[1]->add+=add;            add=0;        }    }    int rank()    {        return ch[0]->size+1;    }    int cmp(int k)    {        if(k==rank())return -1;        return k<rank()?0:1;    }}null,*root,lk[N];int cnt;Node*newnode(int v){    lk[cnt]=Node(v);    return lk+cnt++;}Node::Node(){    ch[0]=ch[1]=&null;    size=add=flip=0;}Node::Node(int v):value(v){    ch[0]=ch[1]=&null;    size=1;    flip=add=0;}void rotate(Node*&o,int d){    o->pushdown();    Node*k=o->ch[d^1];    o->ch[d^1]=k->ch[d];    k->ch[d]=o;    o->pushup();    k->pushup();    o=k;}void splay(Node*&o,int k){    o->pushdown();    int d=o->cmp(k);    if(~d)    {        if(d)splay(o->ch[d],k-o->rank());        else splay(o->ch[d],k);        rotate(o,d^1);    }}void  build(Node*&o,int l,int r)//建树{    int m=(l+r)>>1;    o=newnode(a[m]);    if(m>l)build(o->ch[0],l,m-1);    if(m<r)build(o->ch[1],m+1,r);    o->pushup();}void add(int x)//增加操作{    splay(root ,k2);    root->value+=x;    root->ch[0]->add+=x;}void reverse()//翻转操作{    splay(root ,k1);    Node*tmp=root->ch[1];    root->ch[1]=&null;    root->flip=1;    splay(root,k1);    root->ch[1]=tmp;    root->pushup();}void insert(int x)//插入操作{    splay(root,1);    Node*tmp=newnode(x);    tmp->ch[1]=root->ch[1];    tmp->pushup();    root->ch[1]=tmp;    root->pushup();    n++;}void remove()//删除操作{    splay(root,1);    root=root->ch[1];    n--;}void move(int x)//移动操作{    if(x==1)    {        splay(root,n);        Node*tmp=root->ch[0];        root->ch[0]=&null; //分离左子树，此时的根已经是a[n]了        splay(tmp,1); //执行后，a[1]成为了左子树的树根        root->ch[1]=tmp; //把左子树当做根的右子树        root->pushup(); //更新size    }    else    {        splay(root,1);        Node*tmp=root->ch[1];        root->ch[1]=&null;        splay(tmp,n-1); //注意;不要写成了splay(tmp,2),因为将1旋转为根后，左子树的树根的size=n，应该查找n-1的位置        root->ch[0]=tmp;        root->pushup();    }}int main(){    int kase=1;    while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k1,&k2)&&(n||m||k1||k2))    {        for(int i=1;i<=n;i++)            scanf("%d",&a[i]);        cnt=0;        build(root,1,n);        printf("Case #%d:\n",kase++);        while(m--)        {            char cmd[10];            scanf("%s",cmd);            if(cmd[0]=='a')            {                int x;scanf("%d",&x);                add(x);            }            if(cmd[0]=='r')reverse();            if(cmd[0]=='i')            {                int x;scanf("%d",&x);                insert(x);            }            if(cmd[0]=='d')remove();            if(cmd[0]=='m')            {                int x;scanf("%d",&x);                move(x);            }            if(cmd[0]=='q')            {                splay(root,1);                printf("%d\n",root->value);            }        }    }}