卡特兰数应用

来源：互联网发布：宿豫区12345网络问政编辑：程序博客网时间：2024/04/29 11:21

http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/07/122573.html

http://blog.sina.com.cn/s/blog_7064e7850100y1xf.html

http://blog.csdn.net/duanruibupt/article/details/6869431

Catalan数问题的一个变形：

n+m个人排队买票，并且满足 n /ge m ，票价为50元，其中n个人各手持一张50元钞票，m个人各手持一张100元钞票，除此之外大家身上没有任何其他的钱币，并且初始时候售票窗口没有钱，问有多少种排队的情况数能够让大家都买到票。

这个题目是Catalan数的变形，不考虑人与人的差异，如果m=n的话那么就是我们初始的Catalan数问题，也就是将手持50元的人看成是+1，手持100元的人看成是-1，任前k个数值的和都非负的序列数。

这个题目区别就在于n>m的情况，此时我们仍然可以用原先的证明方法考虑，假设我们要的情况数是 $D_{n+m}$ ，无法让每个人都买到的情况数是 $U_{n + m}$ ，那么就有 $D_{n + m} + U_{n +m} = {n + m /choose n}$ ，此时我们求 $U_{n + m}$ ，我们假设最早买不到票的人编号是k，他手持的是100元并且售票处没有钱，那么将前k个人的钱从50元变成100元，从100元变成50元，这时候就有n+1个人手持50元，m-1个手持100元的，所以就得到 $U_{n + m} = {n + m /choose n + 1}$ ，于是我们的结果就因此得到了，表达式是 $D_{n + m} = {n + m /choose n} - {n + m /choose n + 1}$ 。

1：给定n个数，有多少种出栈序列？

（问题的形象描述：

饭后，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗过的碗一个一个放进碗橱摞成一摞。一共有n个不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也许因为小妹贪玩而使碗拿进碗橱不及时，姐姐则把洗过的碗摞在旁边，问：小妹摞起的碗有多少种可能的方式？

一个有n个1和n个-1组成的字串，且前k个数的和均不小于0，那这种字串的总数为多少？

P=A1A2A3……An，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？）
2：n个节点的二叉树有多少种构型？

3：有n+1个叶子的满二叉树的个数？

4：在n*n的格子中，只在下三角行走，每次横或竖走一格，有多少中走法？

神奇的卡特兰数
5：将一个凸n+2边形区域分成三角形区域的方法数？

神奇的卡特兰数
6：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

7：用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数？

神奇的卡特兰数

上面一些问题有些是同构的，但有些却实在看不出联系来，他们的答案却都为卡特兰数。在《Enumerative Combinatorics》一书中，竟然提到了多达 66种组合问题和卡特兰数有关。

我们先来看看何为卡特兰数：

卡塔兰数的一般项公式为 $C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$

C_n的另一个表达形式为 $C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n-1} \quad\mbox{ for }n\ge 1$

递归式：令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + 神奇的卡特兰数 + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

前几项为 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

卡塔兰数的渐近增长为

$C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}$

$C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}$

1.括号化问题。

　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2.出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
　　类似：
　　(1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
　　(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。
3.将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
　　从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4.给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
　　(一定是二叉树!
　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + + h(n-1)h(0)=h(n))
　　（能构成h（N）个）

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