卡特兰数应用

      首先来回顾一下排列和组合的概念和计算公式。

      (1)排列：

      从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m)表示.
      A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).

      注解：从n个不同的数中取m个数，第一次有n-0种取法，第二次有n-1种取法，......第m次有n-(m-1)种取法，故排列数对应取法相乘。 

      (2)组合：

      从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.
      c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);

      注解：组合是什么意思呢？m个不同元素就是一个组合，与排列顺序无关。那么1个组合对应m!个排列，反过来排列数除以m!就是组合数了。

      (3)卡特兰数

      令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1]  ：
      h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)          公式一
      例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
      h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
     

      另类递推式[2]  ：
      h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);                                                       公式二
     递推关系的解为：
      h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)                                              公式四
     递推关系的另类解为：
      h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)                                          公式五

     (4)卡特兰数应用

       假设有n对左右括号，请求出合法的排列有多少个？合法是指每一个括号都可以找到与之配对的括号，比如n=1时，()是合法的，但是)(为不合法。
给定一个整数n，请返回所求的合法排列数。保证结果在int范围内。

       分析：左右括号必须匹配才合法。n个左括号，n个右括号，共有C(2n,n)个排列。我们要求合法的排列数，反过来分析不合法的排列数。若n=3时

   （））（（）这种情况就不合法。假设（表示1，）表示-1。该序列为1 -1 -1   1 1 -1

    前3个代表右括号比左括号多一个的情形。我们将1和-1交换，原序列变为 -1 1 1 1 1 -1。

    这就得到了我们的结论：

    任何一个非法序列都可以转换为n+1个1和n-1个-1的排列。

    故而我们可以知道非法排列有：C(2n,n+1)

    合法的序列即为：C(2n,n)-C(2n,n+1)

    由卡特兰数公式四和公式五即可算出。

    更多：

    

         2n个人排队买票，n个人拿5块钱，n个人拿10块钱，票价是5块钱1张，每个人买一张票，售票员手里没有零钱，问有多少种排队方法让售票员可以顺利卖票。

         给定一个整数n，请返回所求的排队方案个数。保证结果在int范围内。

          

         n个数进出栈的顺序有多少种？假设栈的容量无限大。

        给定一个整数n，请返回所求的进出栈顺序个数。保证结果在int范围内。

       (5)卡特兰数应用

    求n个无差别的节点构成的二叉树有多少种不同的结构？
    给定一个整数n，请返回不同结构的二叉树的个数。保证结果在int范围内。

    n个节点:1 2 3 ......n。如果头结点放在第一个位置，树的结构数有：1*f(n-1)；头结点放在第二个位置，树的结构数有1*f(n-2)；头结点放在第三个位置，树的结构数有f(2)*f(n-3)......

    依此类推，树的结构数共有：1*f(n-1)+1*f(n-2)+f(2)*f(n-3)......

    由卡特兰数公式一和公式四即可算出。

    补充：

        12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？

        给定一个偶数n，请返回所求的排列方式个数。保证结果在int范围内。

    这个主要是注意n带入公式是n/2；因为n个人排两队就总共有n个人。而之前只是总共有2n个。解释下出入栈那道题，虽然仅有n个数，但是相当于进去n个，出来n个，所以也是总数为2n的排列组合问题。