数论中若干定理

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正文

1. 素数定理：记 π(n) 为小于等于的素数个数，那么有limπ(n)n/ln(n)=1
   题目：http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=117

2. 定理：设a>1,n,m>0 ，那么有gcd(an−1,am−1)=agcd(n,m)−1
   题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2685

3. 定理：设a>b,gcd(a,b)=1，那么gcd(am−bm,an−bm)=agcd(n,m)−bgcd(n,m)

4. 定理：设G=gcd(C1n,C2n,...,Cn−1n)，那么，

   1. 如果 n 只有一个素因子p，那么 G = p
   2. 否则 G= 1

   题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2582

5. 定理：设Fn为Fib数，那么有 gcd(Fm,Fn)=Fgcd(n,m)
   题目：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=468

6. 定理：给定两个互素的正整数A和B，那么它们最大不能组合的数为A×B−A−B，不能组合的数的个数为 (A−1)(B−1)2
   题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1792

7. ∑i=1Ngcd(i,N)=∑d|Nϕ(N/d)d
   
   题目：http://poj.org/problem?id=2480

8. (n+1)lcm(C0n,...,Cnn)=lcm(1,2,3,...,n+1)

9. 定理：任何个连续的正整数的乘积均可被整除

10. 如果p是素数，那么C1p,C2p,...,Cp−1p均能被p整除

11. 如果 p是素数，那么：
    

    (x+y+...+w)p=xp+yp+...+wp(mod p)