矩阵乘法求斐波那契数列（快速幂）

首先介绍矩阵乘法：

定义：设A=(

  

)为

  

的矩阵，B=（

  

)为

  

的矩阵，那么称

  

的矩阵C=（

  

)为矩阵A与B的乘积，记作

  

，其中矩阵C中的第

  

第

  

列元素为

由定义可知，

1：当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A与B可以相乘。

2：矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。

3：乘积C的第

  

行第

  

列的元素

  

等于矩阵A的第

  

行的元素与矩阵B的第

  

列对应元素乘积之和。

c[i][j]=Σa[i][k]*b[k][j]。

例如：

 

，

 

定义矩阵

 

注意 矩阵乘法一般不满足交换律。即:

 

然后由该数列定义可知，

所以目的就是求出前面的系数，需要用到快速幂（当然，如果比较小的话就不需要了，其实如果比较小也不需要用矩阵。。。）

至于快速幂就是和普通的是一样的，只是相乘就需要用到矩阵相乘啦。

</pre><pre name="code" class="cpp">#include <cstdio>#include <iostream>using namespace std;int T,n;long long q;struct aaaa{   long long a[2][2];}base,ans;void get_f(void);aaaa cheng(aaaa a,aaaa b);int main(){    cin>>T;while(T--){   cin>>n>>q;   get_f();   cout<<(ans.a[1][0]+ans.a[1][1])%q<<endl;}return 0;}void get_f(void){    ans.a[0][0]=ans.a[1][1]=1;ans.a[0][1]=ans.a[1][0]=0;base.a[0][0]=base.a[0][1]=base.a[1][0]=1;base.a[1][1]=0;while(n>0){//特别说明，之前说是n-1次，那么我使用下面的f[(n+1)-1]就是f[n]了    if(n&1){    ans=cheng(ans,base);}base=cheng(base,base);n=n>>1;}}aaaa cheng(aaaa a,aaaa b){    aaaa x;x.a[0][0]=a.a[0][0]*b.a[0][0]+a.a[0][1]*b.a[1][0];x.a[0][0]%=q;x.a[0][1]=a.a[0][0]*b.a[0][1]+a.a[0][1]*b.a[1][1];x.a[0][1]%=q;x.a[1][0]=a.a[1][0]*b.a[0][0]+a.a[1][1]*b.a[1][0];x.a[1][0]%=q;x.a[1][1]=a.a[1][0]*b.a[0][1]+a.a[1][1]*b.a[1][1];x.a[1][1]%=q;return x;}