graham扫描法求凸包

凸包的概念：

凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。
在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。
X的凸包可以用X内所有点(X1，…Xn)的线性组合来构造.
在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。
用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。

上图中由红色线段表示的多边形就是点集Q={p0,p1,…p12}的凸包。

基本过程：

1.找到最下面的一个点，如果存在纵坐标相同，取最左面的点。取这个点作为原点。
2.把p0同点集中其他各点用线段连接，并计算这些线段与水平线的夹角，然后按夹角从小到大排序（夹角范围为 [0, 180)度），如果存在夹角相同的点，取最远点其余点直接删除。

3.创建一个栈，将p0,p1,p2三点放入栈中，之后依次遍历p3~pn各点，若栈顶的两个点和当前的点pi这三点连线的方向向顺时针方向偏转，表明栈顶的点是一个凹陷处，应删除，则栈顶元素出栈。并将pi压入栈中。如果向逆时针方向偏转，则直接压入栈中。
4.重复上述过程，直到遍历完成，在栈中的点就是凸包上的顶点。（结果图是最上边的图）

代码实现

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <string>#include <stack>#define PI acos(-1.0)#define MAXN 1010using namespace std;struct point{    double x,y;    double len;}s[MAXN],pt[MAXN],Point_A;    // s中保存最终结果 ，pt起始点 ，Point_A左下起始点int NUM;                      // 凸包上总点数double Cross(point a,point b,point c) //求叉积我（ab，ac）{    return (b.x - a.x)*(c.y - a.y) - (b.y - a.y)*(c.x - a.x);}double dis(point a,point b) // 求两点间的距离{    return sqrt((a.x - b.x)*(a.x - b.x) + (a.y - b.y)*(a.y - b.y));}void Find(int n)   //查找起始点，左下{    int temp = 0;    point a = pt[0];    for(int i=0;i<n;i++){        if(pt[i].y < a.y || pt[i].y == a.y && pt[i].x < a.x){            a = pt[i];            temp = i;        }    }    pt[temp] = pt[0];    pt[0] = a;    Point_A = a;     // 保存起始点}bool cmp (point a,point b)    // 极角排序{    double x = Cross(Point_A,a,b);    if(x > 0) return true;    else if(x < 0) return false;    a.len = dis(Point_A,a);    b.len = dis(Point_A,b);    return a.len < b.len;}int Graham(int n)    //扫描法求解凸包{    int top = 2;    s[0] = pt[0];    s[1] = pt[1];    s[2] = pt[2];    pt[n] = pt[0];    for(int i=3;i<=n;i++){        while(Cross(s[top-1],s[top],pt[i]) <= 0 && top > 1) top--;        s[++top] = pt[i];    }    return top;    //表示凸包中的点数}int init(int n)  // 排序，求凸包{    Find(n);    sort(pt,pt+n,cmp);    NUM = Graham(n);}int Perimeter()  // 求凸包周长{    double sum = 0;    for(int i=1;i<NUM;i++){        sum += dis(s[i-1],s[i]);    }    sum += dis(s[NUM-1],s[0]);    return sum;}double Area() //计算面积{     double sum = 0;    for(int i=1;i<NUM-1;i++){        sum += Cross(s[0],s[i],s[i+1]);    }    sum  = fabs(sum)/2;    return sum;}int main(){    int T,n,m,l,i,j;    double sum,sum1,sum2;    cin >> T;    while(T--){        scanf("%d%d",&n,&l);        for(i=0;i<n;i++){            scanf("%lf%lf",&pt[i].x,&pt[i].y);        }        init(n);        sum = 0;        sum2 = Perimeter();        sum1 = Area();        printf("%d %d\n",sum1,sum2);    }    return 0;}