java 动态规划求解最长公共子序列&最长公共子串问题

1、先科普下最长公共子序列 & 最长公共子串的区别：

找两个字符串的最长公共子串，这个子串要求在原字符串中是连续的。而最长公共子序列则并不要求连续。

2、最长公共子序列

字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解：
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

/*
* 最长公共子序列（可以不连续）
*/
public static String levenshtein(String str1, String str2) {
// 计算两个字符串的长度
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();


// 建立上面说的数组，比字符长度大一个空间
int[][] dif = new int[len1 + 1][len2 + 1];
// 赋初值，步骤B
for (int a = 0; a <= len1; a++) {
dif[a][0] = a;
}
for (int a = 0; a <= len2; a++) {
dif[0][a] = a;
}
// 计算两个字符是否一样，计算左上的值
int temp;
for (int i = 1; i <= len1; i++) {
for (int j = 1; j <= len2; j++) {
if (str1.charAt(i - 1) == str2.charAt(j - 1)) {
temp = 0;
} else {
temp = 1;
}
// 取3个值中最小的
dif[i][j] = min(dif[i - 1][j - 1] + temp, dif[i][j - 1] + 1,
dif[i - 1][j] + 1);
}
}


// System.out.println("字符串\"" + str1 + "\"与\"" + str2 + "\"的比较");
// 取数组右下角的值，同样不同位置代表不同字符串的比较
// System.out.println("差异步骤" + dif[len1][len2]);
// 计算相似度
float similarity = 1 - (float) dif[len1][len2]
/ Math.max(str1.length(), str2.length());
// System.out.println("相似度:" + similarity);
return String.valueOf(similarity);

private static int min(int... is) {
int min = Integer.MAX_VALUE;
for (int i : is) {
if (min > i) {
min = i;
}
}
return min;
}

3、最长公共子串

其实这是一个序贯决策问题，可以用动态规划来求解。我们采用一个二维矩阵来记录中间的结果。这个二维矩阵怎么构造呢？直接举个例子吧："bab"和"caba"(当然我 们现在一眼就可以看出来最长公共子串是"ba"或"ab")


　 　   b　　a　　b


c　　0　　0　　0


a　　0　　1　　0


b　　1　　0　　1


a　　0　　1　　0


我们看矩阵的斜对角线最长的那个就能找出最长公共子串。


不过在二维矩阵上找最长的由1组成的斜对角线也是件麻烦费时的事，下面改进：当要在矩阵是填1时让它等于其左上角元素加1。


　　 b　　a　　b


c　　0　　0　　0


a　　0　　1　　0


b　　1　　0　　2


a　　0　　2　　0

这样矩阵中的最大元素就是 最长公共子串的长度。

/**
* 最长公共子串（连续）
* 在动态规划矩阵生成方式当中，每生成一行，前面的那一行就已经没有用了，因此这里只需使用一维数组，而不是常用的二位数组
* @param str1
* @param str2
*/
public static int getLCString(char[] str1, char[] str2) {
int len1, len2;
len1 = str1.length;
len2 = str2.length;

int maxLen = len1 > len2 ? len1 : len2;
int[] max = new int[maxLen];// 保存最长子串长度的数组
int[] maxIndex = new int[maxLen];// 保存最长子串长度最大索引的数组
int[] c = new int[maxLen]; // 记录对角线上的相等值的个数


int i, j;
for (i = 0; i < len2; i++) {
for (j = len1 - 1; j >= 0; j--) {
if (str2[i] == str1[j]) {
if ((i == 0) || (j == 0))
c[j] = 1;
else
c[j] = c[j - 1] + 1;// 此时C[j-1]还是上次循环中的值，因为还没被重新赋值
} else {
c[j] = 0;
}


// 如果是大于那暂时只有一个是最长的,而且要把后面的清0;
if (c[j] > max[0]) {
max[0] = c[j]; // 记录对角线元素的最大值，之后在遍历时用作提取子串的长度
maxIndex[0] = j; // 记录对角线元素最大值的位置


for (int k = 1; k < maxLen; k++) {
max[k] = 0;
maxIndex[k] = 0;
}
}
// 有多个是相同长度的子串
else if (c[j] == max[0]) {
for (int k = 1; k < maxLen; k++) {
if (max[k] == 0) {
max[k] = c[j];
maxIndex[k] = j;
break; // 在后面加一个就要退出循环了
}
}
}
}
// for (int temp : c) {
// System.out.print(temp);
// }
// System.out.println();
}
// 打印最长子字符串
for (j = 0; j < maxLen; j++) {
if (max[j] > 0) {
return max[j];
}
}
return 0;
}