【leetcode】Sqrt(n)

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

1. 二分法：

要注意越界问题！！

 int mySqrt(int x) {        int low=1;        int upper=x/2+1;        long long middle;        long long tmp;        while(low<=upper){            middle=low+(upper-low)/2;            tmp=middle*middle;            if(tmp==x)                return middle;            if(tmp<x)                low=middle+1;            else                upper=middle-1;        }        return upper;}

2. 牛顿迭代法：

 为了方便理解，就先以本题为例：

   计算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

   首先取x₀，如果x₀不是解，做一个经过(x₀,f(x₀))这个点的切线，与x轴的交点为x₁。

   同样的道理，如果x₁不是解，做一个经过(x₁,f(x₁))这个点的切线，与x轴的交点为x₂。

   以此类推。

   以这样的方式得到的x_i会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断x_i是否是f(x)=0的解有两种方法：

   一是直接计算f(x_i)的值判断是否为0，二是判断前后两个解x_i和x_i-1是否无限接近。

 

经过(x_i, f(x_i))这个点的切线方程为f(x) = f(x_i) + f’(x_i)(x - x_i)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出x_i+1=x_i - f(x_i) / f'(x_i)。

继续化简，x_i+1=x_i - (x_i² - n) / (2x_i) = x_i - x_i / 2 + n / (2x_i) = x_i / 2 + n / 2x_i = (x_i + n/x_i) / 2。

有了迭代公式x_i+1= (x_i + n/x_i) / 2，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

<span style="white-space:pre"></span>if(x<0)            return -1;        if(x==0) return 0;        double pre;        double cur=1;        do{            pre=cur;            cur=x/(pre*2)+pre/2.0;        }while(abs(cur-pre)>0.00001);        return (int)cur;