BZOJ 2301

来源：互联网发布：苏梅岛用什么地图软件编辑：程序博客网时间：2024/05/24 06:28

BZOJ 2301

文章来自我的新博客

Description：

      有 N 组数据，每组输入 a,b,c,d,K ，输出 ∑bi=a∑di=c[gcd(i,j)==K] N<=500000,1<=a<=b<=50000,1<=c<=d<=50000,K<=50000

Solution：

首先，根据容斥原理，我们令 Ans(N,M)表示 a=c=1,b=N,d=M 时的答案，那么最后所求为Ans(b,d)−Ans(a−1,d)−Ans(c,b−1)+Ans(a−1,b−1) 所以我们考虑如何求 Ans(N,M) (根据对称性，Ans(N,M)=Ans(M,N)，所以我们可以使得 N<=M)

Ans(N,M)=∑Ni=1∑Mj=1[gcd(i,j)==K]=∑⌊NK⌋i=1∑⌊MK⌋j=1[gcd(i,j)==1]

然后莫比乌斯反演有：Ans(N,M)=∑⌊NK⌋d=1μ(d)∗⌊Nd∗K⌋∗⌊Md∗K⌋

      但是,时间复杂度过不了。。。这时候我们考虑优化。由于⌊⌊NK⌋d⌋=⌊Nd∗K⌋，所以我们考虑用常用技巧，由于⌊NK⌋的取值只有 N−−√ 个，然后取值相同时 μ(d)∗⌊Nd∗K⌋∗⌊Md∗K⌋ 的结果是一样的，我们可以将时间复杂度从 O(Nlog2N)降低到 O(N−−√log2N) 然后就愉快的 AC 了。

Code：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;long long A,B,C,D,K;int mu[50010]={0};int hash[50010]={0};int prime[50010]={0};int pp=0;void Pre_(){    mu[1]=1;    for(int i=2;i<=50000;i++)    {        if(hash[i]==0)        {            prime[++pp]=i;            mu[i]=-1;        }        for(int j=1;j<=pp && i*prime[j]<=50000;j++)        {            hash[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]==0)            {                mu[i*prime[j]]=0;                break;            }            mu[i*prime[j]]=-mu[i];        }        mu[i]+=mu[i-1];    }    return;}long long Calc(long long N,long long M){    if(N>M) swap(N,M);    long long returnd=0;    int last=0;    for(int i=1;i<=N;i=last+1)    {        long long T1=N/i,T2=M/i;        last=min(N/T1,M/T2);        returnd+=(mu[last]-mu[i-1])*T1*T2;    }    return returnd;}int main(){    int T;    cin>>T;    Pre_();    for(;T>0;T--)    {        int a,b,c,d,k;        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&c,&b,&d,&k);        A=a,B=b,C=c,D=d,K=k;        long long ans=Calc(C/K,D/K)-Calc((A-1)/K,D/K)-Calc(C/K,(B-1)/K)+Calc((A-1)/K,(B-1)/K);        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}

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