Generate Parentheses

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Question Solution 

Total Accepted: 57885 Total Submissions: 176392 Difficulty: Medium

Given n pairs of parentheses, write a function to generate all combinations of well-formed parentheses.

For example, given n = 3, a solution set is:

"((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()"




一.开始打算用动态规划自底向上的算法，也就是第n个的所有括号数，按照左括号开始的数目进行枚举，后面插入需

要补充的括号数，代码，如下，但是忽略了一种情况

分析了下此方法较复杂，放弃。

class Solution {public:    vector<string> generateParenthesis(int n) {if(!n){ vector<string> ve; return ve;}        vector<string> * vectors = new vector<string> [n];for(int ve = 0; ve < n; ve ++){for( int l_num = ve + 1; l_num > 0; l_num --){string str_pre;for( int il_num = 0; il_num < l_num; il_num ++)str_pre.append("(");str_pre.append(")");int sub_num = ve + 1 - l_num;if( !sub_num) //有需要补充的子括号数{string str = str_pre;for( int ir_num = 0; ir_num < l_num -1; ir_num ++)str.append(")");vectors[ve].push_back(str);}else{//插在内部for( vector<string>::iterator ite = vectors[sub_num - 1].begin();ite != vectors[sub_num - 1].end(); ite ++){string str = str_pre;str.append(*ite);for( int ir_num = 0; ir_num < l_num -1; ir_num ++)str.append(")");vectors[ve].push_back(str);}//插在外部for( int wair_num = 1;wair_num <= l_num - 1; wair_num ++ ){for( vector<string>::iterator ite = vectors[sub_num - 1].begin();ite != vectors[sub_num - 1].end(); ite ++){string str = str_pre;for( int ir_num = 0; ir_num < wair_num; ir_num ++)str.append(")");str.append(*ite);for( int ir_num = 0; ir_num < l_num-1-wair_num; ir_num ++)str.append(")");vectors[ve].push_back(str);}}}}}//释放多余内存for(int i = 0; i < n-1; i++)vectors[i].clear();return vectors[n-1];    }};

二.网上看了某人的算法，所谓的卡特兰数，代码非常简单，就是建一个二叉树，然后深度搜索，要求每次分支，已经画的左括号数必须大于

右括号数，都画完时返回，代码如下：

class Solution {public:    vector<string> generateParenthesis(int n) {vector<string> re;if(!n)return re;string str = "";        generate(re,n,n,str);return re;    }void generate(vector<string> &re,int left,int right,string str){if( left == 0 && right == 0)re.push_back(str);if( left > 0)generate( re, left - 1, right, str +"(");if( right > left && right > 0)generate( re, left, right - 1, str + ")");return;}};

三. 卡特兰数应用例子：（引用网上例子

入栈出栈顺序问题：给定一个长度为n的不重复数组，求所有可能的入栈出栈顺序。该问题解的个数也是卡特兰数，根据上面的思路，我们也

可以写出一个类似的代码：

[cpp] view plaincopyprint?

1. void inoutstack(int in,int out,deque<int> &q,stack<int> &s,deque<int> seq,vector<deque<int>> &result)  
2.     {  
3.         if(!in&&!out)  
4.         {  
5.             result.push_back(q);  
6.             return;  
7.         }  
8.   
9.         if(in>0)  
10.         {  
11.             s.push(seq.front());  
12.             seq.pop_front();  
13.             inoutstack(in-1,out,q,s,seq,result);  
14.             seq.push_front(s.top());  
15.             s.pop();  
16.         }  
17.   
18.         if(out>0&&in<out)  
19.         {  
20.             q.push_back(s.top());  
21.             s.pop();  
22.             inoutstack(in,out-1,q,s,seq,result);  
23.             s.push(q.back());  
24.             q.pop_back();  
25.         }  
26.     }  

上述代码由于采用了栈和队列模仿整个过程，所以显得略微复杂，但是代码的基本结构还是符合一个类似的基本规则：在某一个特定时刻，入

栈的次数大于或者等于出栈的次数。在生成括号的问题中，我们利用一个string来保存结果，由于打印左括号时不影响打印右括号，所以无需复

杂的状态恢复。在入栈出栈顺序问题中，由于两次递归调用共享同一个栈和队列，所以我们需要手动恢复其内容。在恢复时，队列会从头部删

除和添加，所以我们采用了deque，它可以在头部添加和删除元素。queue只能在头部删除元素，所以没有采用。
中文:卡特兰数
　　Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·

卡塔兰 (1814–1894)命名。
　　原理：
　　令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　该递推关系的解为：
　　h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,)
       另类递归式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　
　　前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 

58786, 208012, 742900, 

2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 

24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, 
应用

　　我总结了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能

分解问题写出递归式了）
1.括号化问题。

　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的

乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2.出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
　　类似：
　　(1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有

10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票

找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
　　(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。
3.将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班

。如果她
　　从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4.给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
　　(一定是二叉树!
　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,

就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0)=h(n))
　　（能构成h（N）个）