k个最大的m段子数组和

问题描述：

给定长度为n的数组a[],从中选择k个长度为m的子数组，要求和最大。

形式描述为：选择k个子数组[l1, r1], [l2, r2], ..., [lkl1, rk] (1 ≤ l1 ≤r1 ≤l2 ≤ r2 ≤... ≤lk ≤ rk ≤ n; ri−ri+1), 使得∑ki=1∑rij=lipj

问题分析：

【思路1】先从简单粗暴的方法入手，怎么办？寻找所有的k个长度为m的子数组，然后选择其中和最小的。第一个长度为m的子数组开始位置可能为0...(k-1)*m，然后第二个子数组的下标？第三个子数组下标？太复杂了而且时间复杂度肯定超高，不能忍，换个方法吧。

【思路2】再看一下问题，要求和最大，求最值问题十有八九都是DP问题，试试吧。DP题目子问题怎么定义是关键，然后这东西基本只能靠经验了（嗯，算法导论上就是这么说的）。从后往前考虑，那么对于最后一个元素，只有两种情况，被选中到子数组中或者没有被选到子数组中。如果被选中，那么首先计算最后m个元素的和，剩下的问题就化为从前面长度为n-m的数组中选择k-1组和最大的子数组。如果没选中最后一个，也好办，直接转化为从前面n-1个元素中选择k组和最大的子数组。分析后我们有：

子问题定义：　　　dp[i][j] = 从前i个元素中选择j个子数组的最大和

状态转移方程：　　dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-m][j-1] + sum(a[i-m]...a[i-1]))

初始条件：      　　dp[0][j] = 0; dp[i][0] = 0; if (i < j * m) dp[i][j] = 0;

AC代码如下：

#include <iostream> 2 #include <string> 3 #include <vector> 4 #include <algorithm> 5 #include <functional> 6 #include <numeric> 7 using namespace std; 8  9 int main()10 {11     int n, m, k;12     cin >> n >> m >> k;13 14     vector<int> v(n, 0);15     for (int i = 0; i < n; ++i)16     {17         cin >> v[i];18     }19 20     // dp[i][j] = choose j pairs integers from the first i elements21     // Then base on the ith is chosen or not, there are two case:22     // not choose ith element, the dp[i][j] = dp[i-1][j]23     // choose ith element, the dp[i][j] = dp[i-m][j-1] + sum(a[i-1]...a[i-m])24     // so dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-m][j-1] + sum(a[i-1]...a[i-m])25     // base case: assert (i >= j * m) if not 0 dp[i][j] = 026     // the problem is equal to find dp[n][k]27     28     vector<vector<long long> > dp(n+1, vector<long long>(k+1, 0));29 30     // base case31     for (int i = 0; i < n + 1; ++i)32     {33         for (int j = 0; j < k + 1; ++j)34         {35             if (i < j * m)36             {37                 dp[i][j] = 0;38             }39         }40     }41 42     // bottom to up43     for (int i = 1; i < n + 1; ++i)44     {45         for (int j = 1; j < k + 1; ++j)46         {47             if (i >= j * m)48             {49                 long long lastPairSum = accumulate(v.begin() + i - m, v.begin() + i, 0LL);50                 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-m][j-1] + lastPairSum);    51             }52 53         }54     }55 56     long long ans = dp[n][k];57     cout << ans << endl;58     return 0;59 }