排序算法之归并排序

参考地址：归并排序

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。

归并排序的基本思想

将待排序序列R[0...n-1]看成是n个长度为1的有序序列，将相邻的有序表成对归并，得到n/2个长度为2的有序表；将这些有序序列再次归并，得到n/4个长度为4的有序序列；如此反复进行下去，最后得到一个长度为n的有序序列。

综上可知：

归并排序其实要做两件事：

（1）“分解”——将序列每次折半划分。

（2）“合并”——将划分后的序列段两两合并后排序。

我们先来考虑第二步，如何合并？

在每次合并过程中，都是对两个有序的序列段进行合并，然后排序。

这两个有序序列段分别为 R[low, mid] 和 R[mid+1, high]。

先将他们合并到一个局部的暂存数组R2中，带合并完成后再将R2复制回R中。

为了方便描述，我们称 R[low, mid] 第一段，R[mid+1, high] 为第二段。

每次从两个段中取出一个记录进行关键字的比较，将较小者放入R2中。最后将各段中余下的部分直接复制到R2中。

经过这样的过程，R2已经是一个有序的序列，再将其复制回R中，一次合并排序就完成了。

public void Merge(int[] array, int low, int mid, int high) {    int i = low; // i是第一段序列的下标    int j = mid + 1; // j是第二段序列的下标    int k = 0; // k是临时存放合并序列的下标    int[] array2 = new int[high - low + 1]; // array2是临时合并序列    // 扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束    while (i <= mid && j <= high) {        // 判断第一段和第二段取出的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描        if (array[i] <= array[j]) {            array2[k] = array[i];            i++;            k++;        } else {            array2[k] = array[j];            j++;            k++;        }    }    // 若第一段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列    while (i <= mid) {        array2[k] = array[i];        i++;        k++;    }    // 若第二段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列    while (j <= high) {        array2[k] = array[j];        j++;        k++;    }    // 将合并序列复制到原始序列中    for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {        array[i] = array2[k];    }}

掌握了合并的方法，接下来，让我们来了解如何分解

在某趟归并中，设各子表的长度为gap，则归并前R[0...n-1]中共有n/gap个有序的子表：R[0...gap-1], R[gap...2*gap-1], ... , R[(n/gap)*gap ... n-1]。

调用Merge将相邻的子表归并时，必须对表的特殊情况进行特殊处理。

若子表个数为奇数，则最后一个子表无须和其他子表归并（即本趟处理轮空）：若子表个数为偶数，则要注意到最后一对子表中后一个子表区间的上限为n-1。 

public void MergePass(int[] array, int gap, int length) {    int i = 0;        // 归并gap长度的两个相邻子表    for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) {        Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);    }        // 余下两个子表，后者长度小于gap    if (i + gap - 1 < length) {        Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1);    }}public int[] sort(int[] list) {    for (int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {        MergePass(list, gap, list.length);    }    return list;}

算法分析

排序类别排序方法时间复杂度空间复杂度稳定性复杂性平均情况最坏情况最好情况归并排序归并排序O(nlog₂n)O(nlog₂n)O(nlog₂n)O(n)稳定较复杂

时间复杂度

归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(n*log₂n)。

 

空间复杂度

由前面的算法说明可知，算法处理过程中，需要一个大小为n的临时存储空间用以保存合并序列。

算法稳定性

在归并排序中，相等的元素的顺序不会改变，所以它是稳定的算法。

 

归并排序和堆排序、快速排序的比较

若从空间复杂度来考虑：首选堆排序，其次是快速排序，最后是归并排序。

若从稳定性来考虑，应选取归并排序，因为堆排序和快速排序都是不稳定的。

若从平均情况下的排序速度考虑，应该选择快速排序。

完整实现

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以下代码可以直接运行。

public class MergeSort {    public void Merge(int[] array, int low, int mid, int high) {        int i = low; // i是第一段序列的下标        int j = mid + 1; // j是第二段序列的下标        int k = 0; // k是临时存放合并序列的下标        int[] array2 = new int[high - low + 1]; // array2是临时合并序列        // 扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束        while (i <= mid && j <= high) {            // 判断第一段和第二段取出的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描            if (array[i] <= array[j]) {                array2[k] = array[i];                i++;                k++;            } else {                array2[k] = array[j];                j++;                k++;            }        }        // 若第一段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列        while (i <= mid) {            array2[k] = array[i];            i++;            k++;        }        // 若第二段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列        while (j <= high) {            array2[k] = array[j];            j++;            k++;        }        // 将合并序列复制到原始序列中        for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {            array[i] = array2[k];        }    }    public void MergePass(int[] array, int gap, int length) {        int i = 0;                // 归并gap长度的两个相邻子表        for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) {            Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);        }                // 余下两个子表，后者长度小于gap        if (i + gap - 1 < length) {            Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1);        }    }    public int[] sort(int[] list) {        for (int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {            MergePass(list, gap, list.length);            System.out.print("gap = " + gap + ":\t");            this.printAll(list);        }        return list;    }    // 打印完整序列    public void printAll(int[] list) {        for (int value : list) {            System.out.print(value + "\t");        }        System.out.println();    }    public static void main(String[] args) {        int[] array = { 9, 1, 5, 3, 4, 2, 6, 8, 7};        MergeSort merge = new MergeSort();        System.out.print("排序前:\t\t");        merge.printAll(array);        merge.sort(array);        System.out.print("排序后:\t\t");        merge.printAll(array);    }}

运行结果

排序前:      9    1    5    3    4    2    6    8    7    
gap = 1:    1    9    3    5    2    4    6    8    7    
gap = 2:    1    3    5    9    2    4    6    8    7    
gap = 4:    1    2    3    4    5    6    8    9    7    
gap = 8:    1    2    3    4    5    6    7    8    9    
排序后:      1    2    3    4    5    6    7    8    9