扩展欧几里得

终于开了数论课了，，再也不是只贴模板了，稍微懂了点原理，先来一发链接

点我刷Exgcd

（里面的最后一题是孙子定理，也是模板题）

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先贴几个最常见的模板：

最大公约数（辗转相除法）

#define ll long longll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}

扩展欧几里得：求ax+by=gcd(a,b)中的x，y，其中d=gcd（a，b）

#define ll long longll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ll d;if (b==0){x=1;y=0;return a;}d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;}

孙子定理的模板：

其中a[]是各个除数，m[]是各个余数，n是同余式子的个数，学完同余再来解释模板原理

ll CRT(ll a[],ll m[],ll n){ll M=1,d,ret=0,i,x,y,Mi,temp;for(i=0;i<n;i++) M*=m[i];for(i=0;i<n;i++){Mi=M/m[i];d=Exgcd(m[i],Mi,x,y);temp=mod_mul(y,Mi,M);temp=mod_mul(temp,a[i],M);ret=(ret+temp)%M;}return (M+ret)%M;}

扩展欧几里得的最经典应用：

解决一次不定方程ax+by=c

（1）ax+by=c有解的充分必要条件是（a，b）=c

（2）利用公式的x0，y0得出一组特解，然后所有解为x=x0+b*k/gcd(a,b)    y=y0-a*k/gcd(a,b)

（3）题中有时候是求出x或者y的最小正整数解，利用通式取余即可

下面是各个题的代码：

A：

ll x,y,n,m,l;ll a,b,g,mul;int main(){//input;while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF){g=exgcd(m-n,-1*l,a,b);if ((y-x)%g){puts("Impossible");continue;}a*=(y-x)/g;mul=-1*l/g;//printf("%lld %lld\n",a,mul);a=(a%mul+mul)%mul;printf("%lld\n",a);}return 0;}

B：

int main(){//input;int i,j,k;pow2[0]=1;for(i=1;i<=35;i++) pow2[i]=2LL*pow2[i-1];//for(i=1;i<=35;i++) printf("%lld\n",pow2[i]);while(scanf("%lld%lld%lld%d",&a,&b,&c,&k)!=EOF){if (k==0) break;if (a==b){puts("0");continue;}g=exgcd(c,pow2[k],x,y);if ((b-a)%g){puts("FOREVER");continue;}//printf("%lld\n",g);x*=(b-a)/g;l=pow2[k]/g;//printf("%lld %lld\n",x,l);x=(x%l+l)%l;printf("%lld\n",x);//cout<<endl;}return 0;}

C：范围很小，直接根据题意for循环暴力即可

D：

ll a,b,g;ll l,r;ll x,y;int main(){//input;while(scanf("%I64d%I64d",&a,&b)!=EOF){g=exgcd(a,b,x,y);if (g!=1){puts("sorry");continue;}x=(x%b+b)%b;y=(1-a*x)/b;printf("%I64d %I64d\n",x,y);}return 0;}

E：

ll x,y,n,m,l;ll a,b,g,mul;int main(){//input;while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF){g=exgcd(m-n,l,a,b);if ((y-x)%g){puts("Pat");continue;}a*=(y-x)/g;mul=-1*l/g;if (mul<0) mul=-1*mul;//printf("%lld %lld\n",a,mul);a=(a%mul+mul)%mul;printf("%lld\n",a);}return 0;}

F：

int main(){//input;while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&m)!=EOF){if (a+b+m==0) break;tot=ansx=ansy=INF;tot*=99999999;g=exgcd(a,-1*b,x,y);x*=m/g;y*=m/g;l=b/g;if (l<0) l=-1*l;r=a/g;if (r<0) r=-1*r;x1=(x%l+l)%l;y=(y%r+r)%r;x2=(m+b*y)/a;for(x=x1;x<=x2;x+=l){y=(a*x-m)/b;if (y<0) continue;if (x+y<=ansx+ansy&&tot>=x*a+b*y){ansx=x;ansy=y;tot=x*a+b*y;}}g=exgcd(a,b,x,y);x*=m/g;y*=m/g;l=b/g;if (l<0) l=-1*l;r=a/g;if (r<0) r=-1*r;x1=(x%l+l)%l;y=(y%r+r)%r;x2=(m+b*y)/a;for(x=x1;x<=x2;x+=l){y=(m-a*x)/b;if (y<0) continue;if (x+y<=ansx+ansy&&tot>=x*a+b*y){ansx=x;ansy=y;tot=x*a+b*y;}}m=-1*m;g=exgcd(a,-1*b,x,y);x*=m/g;y*=m/g;l=b/g;if (l<0) l=-1*l;r=a/g;if (r<0) r=-1*r;x1=(x%l+l)%l;y=(y%r+r)%r;x2=(m+b*y)/a;for(x=x1;x<=x2;x+=l){y=(a*x-m)/b;if (y<0) continue;if (x+y<=ansx+ansy&&tot>=x*a+b*y){ansx=x;ansy=y;tot=x*a+b*y;}}printf("%I64d %I64d\n",ansx,ansy);}return 0;}

G：孙子定理模板应用没什么好说的。。。。

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来几篇好的欧几里得的原理介绍的博客：

http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

http://www.acmerblog.com/extend-gcd-5610.html

看完这几个，刷完这几个题，模板弄下来，就基本没什么问题了。。这是最基本的内容了，学了同余等知识之后会有更多的结论