动态规划的详细解析（01背包问题）

　                                   算法分析之动态规划详解

  先举个例子01背包问题具体例子：假设现有容量15kg的背包，另外有4个物品，分别为a1，a2，a3, a4。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6, a4重6千克，价值为7。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？

对于这样的问题，如果如上述所涉及的数据比较少的时候，我们通过列举就能算出来，例如，上边的例子的答案是：将a4和a3与a2放入背包中，这样总重量为6+5+4=15，总价值为5+6+7=18，这样总价值最大。但是如果上述给出的条件很多，此时我们光靠用眼睛看是绝对不行的，所以我们要用上动态规划的思想。

关于动态规划的思想是如何建立的，若初学者对动态规划还是很迷惑的，可以打开下面的文章链接。

 

点击打开链接  http://blog.csdn.net/u014028070/article/details/39695669 

 

 

 

    动态规划的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

 

    由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。

 

与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。

 

我们以01背包为例子：

思路：先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。

表达式中各个符号的具体含义。

 

　　w[i] : 第i个物体的重量；

 

　　p[i] : 第i个物体的价值；

 

　　c[i][m] ：前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；

 

　　c[i-1][m] ：前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；

 

　　c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；

 

　　由此可得：

 

　　　　　　c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}（此时用到递归）

引用网上的一个图更能说明情况：

 

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

 

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0

 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<wi 

 

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) }j>wi

 

(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

 

 

[cpp] view plaincopy

1. #include<stdlib.h>  
2. #include<stdio.h>  
3. int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值  
4. int max(int a,int b)  //一个大小比较函数，用于当总重大于第I行时   
5. {  
6.    if(a>=b)  
7.        return a;  
8.    else return b;  
9. }  
10.   
11. int Knap(int n,int w[],int v[],int x[],int C)  
12. {  
13.     int i,j;  
14.     for(i=0;i<=n;i++)  
15.         V[i][0]=0;  
16.     for(j=0;j<=C;j++)  
17.         V[0][j]=0;  
18.     for(i=0;i<=n-1;i++)  
19.         for(j=0;j<=C;j++)  
20.             if(j<w[i])  
21.                 V[i][j]=V[i-1][j];  
22.             else  
23.                 V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
24.             j=C;  
25.             for(i=n-1;i>=0;i--)  
26.             {  
27.                 if(V[i][j]>V[i-1][j])  
28.                 {  
29.                 x[i]=1;  
30.                 j=j-w[i];  
31.                 }  
32.             else  
33.                 x[i]=0;     
34.             }  
35.             printf("选中的物品是:\n");  
36.             for(i=0;i<n;i++)  
37.                 printf("%d ",x[i]);  
38.             printf("\n");  
39.         return V[n-1][C];  
40.           
41. }  
42.   
43. int main()  
44. {  
45.     int s;//获得的最大价值  
46.     int w[4];//物品的重量   重量  价值  和物品的状态 均对应着存到数组中，物品从1开始。   
47.     int v[4];//物品的价值  
48.     int x[4];//物品的选取状态   选中则是1  没选中为0   
49.     int n,i;  
50.     int C;//背包最大容量  
51.     n=4;  
52.     printf("请输入背包的最大容量:\n");  
53.     scanf("%d",&C);  
54.       
55.     printf("物品数:\n");  
56.     scanf("%d",&n);  
57.     printf("请分别输入物品的重量:\n");  
58.     for(i=0;i<n;i++)  
59.         scanf("%d",&w[i]);  
60.   
61.     printf("请分别输入物品的价值:\n");  
62.     for(i=0;i<n;i++)  
63.         scanf("%d",&v[i]);  
64.   
65.     s=Knap(n,w,v,x,C);  //调用核心函数   
66.   
67.     printf("最大物品价值为:\n");  
68.     printf("%d\n",s);  
69.     system("pause");  
70.     return 0;  
71.      
72.       
73. }  

结果是：

 暂时就理解这么多，还在不断学习中。