01背包问题（回溯算法实现）

 问题描述：有n件物品和一个容量为c的背包。第i件物品的价值是v[i]，重量是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。所谓01背包，表示每一个物品只有一个，要么装入，要么不装入。
     今天下午的算法复习课，老师提的各种算法经典问题时，出现频率就是01背包问题了！动态规划、回溯法、分支限界法，在贪心算法时也提到注意背包问题，当然01背包问题不能用贪心算法实现，不能保证能得到最优解。回溯法是最近学的，所以试着用C语言将其实现了下，下面作以分析，后期将会继续用其他两种算法实现01背包问题，并做比较。
   回溯法：01背包属于找最优解问题，用回溯法需要构造解的子集树。在搜索状态空间树时，只要左子节点是可一个可行结点，搜索就进入其左子树。对于右子树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去，剪枝啦啦！
   上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值bestp。
   为了更好地计算和运用上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从大到小排序，此后就按照顺序考虑各个物品。
   下面直接贴代码吧：

#include <stdio.h>
#include <conio.h>

int n;//物品数量
double c;//背包容量
double v[100];//各个物品的价值
double w[100];//各个物品的重量
double cw = 0.0;//当前背包重量
double cp = 0.0;//当前背包中物品价值
double bestp = 0.0;//当前最优价值
double perp[100];//单位物品价值排序后
int order[100];//物品编号
int put[100];//设置是否装入

//按单位价值排序
void knapsack()
{
    int i,j;
    int temporder = 0;
    double temp = 0.0;

    for(i=1;i<=n;i++)
        perp[i]=v[i]/w[i];
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        for(j=i+1;j<=n;j++)
            if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]
        {
            temp = perp[i];
            perp[i]=perp[i];
            perp[j]=temp;

            temporder=order[i];
            order[i]=order[j];
            order[j]=temporder;
            temp = v[i];
            v[i]=v[j];
            v[j]=temp;

            temp=w[i];
            w[i]=w[j];
            w[j]=temp;
        }
    }
}

//回溯函数
void backtrack(int i)
{
    double bound(int i);
    if(i>n)
    {
        bestp = cp;
        return;
    }
    if(cw+w[i]<=c)
    {
        cw+=w[i];
        cp+=v[i];
        put[i]=1;
        backtrack(i+1);
        cw-=w[i];
        cp-=v[i];
    }
    if(bound(i+1)>bestp)//符合条件搜索右子数
        backtrack(i+1);
}

//计算上界函数
double bound(int i)
{
    double leftw= c-cw;
    double b = cp;
    while(i<=n&&w[i]<=leftw)
    {
        leftw-=w[i];
        b+=v[i];
        i++;
    }
    if(i<=n)
        b+=v[i]/w[i]*leftw;
    return b;

}


int main()
{
    int i;
    printf("请输入物品的数量和容量：");
    scanf("%d %lf",&n,&c);
    printf("请输入物品的重量和价值：");
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("第%d个物品的重量：",i);
        scanf("%lf",&w[i]);
        printf("价值是：");
        scanf("%lf",&v[i]);
        order[i]=i;
    }
    knapsack();
    backtrack(1);
    printf("最有价值为：%lf\n",bestp);
    printf("需要装入的物品编号是：");
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(put[i]==1)
            printf("%d ",order[i]);
    }
    return 0;
}
运行结果截图：


算法复杂度分析：上界函数bound()需要O(n)时间，在最坏的情况下有O(2^n)个右子结点需要计算上界，回溯算法backtrack需要的计算时间为O(n2^n)。
   
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