nefu488餐巾计划问题【网络流24题】最小费用流

description

    一个餐厅在相继的N 天里，每天需用的餐巾数不尽相同。假设第i天需要ri块餐巾(i=1，2，…，N)。餐厅可以购买新的餐巾，每块餐巾的费用为p分；或者把旧餐巾送到快洗部，洗一块需m天，其费用为f 分；或者送到慢洗部，洗一块需n 天(n > m)，其费用为s < f 分。每天结束时，餐厅必须决定将多少块脏的餐巾送到快洗部，多少块餐巾送到慢洗部，以及多少块保存起来延期送洗。但是每天洗好的餐巾和购买的新餐巾数之和，要满足当天的需求量。试设计一个算法为餐厅合理地安排好N 天中餐巾使用计划，使总的花费最小。    编程找出一个最佳餐巾使用计划.

input

多组数据输入.每组输入第1 行有6 个正整数N,p,m,f,n,s。N 是要安排餐巾使用计划的天数；p 是每块新餐巾的费用；m 是快洗部洗一块餐巾需用天数；f 是快洗部洗一块餐巾需要的费用；n是慢洗部洗一块餐巾需用天数；s是慢洗部洗一块餐巾需要的费用。接下来的N 行是餐厅在相继的N 天里，每天需用的餐巾数。

output

每组输出餐厅在相继的N 天里使用餐巾的最小总花费

sample_input

3 10 2 3 3 2567

sample_output

145

【问题分析】

网络优化问题，用最小费用最大流解决。


【建模方法】


把每天分为二分图两个集合中的顶点Xi,Yi，建立附加源S汇T。


1、从S向每个Xi连一条容量为ri，费用为0的有向边。
2、从每个Yi向T连一条容量为ri，费用为0的有向边。
3、从S向每个Yi连一条容量为无穷大，费用为p的有向边。
4、从每个Xi向Xi+1(i+1<=N)连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。
5、从每个Xi向Yi+m(i+m<=N)连一条容量为无穷大，费用为f的有向边。
6、从每个Xi向Yi+n(i+n<=N)连一条容量为无穷大，费用为s的有向边。


求网络最小费用最大流，费用流值就是要求的最小总花费。


【建模分析】


这个问题的主要约束条件是每天的餐巾够用，而餐巾的来源可能是最新购买，也可能是前几天送洗，今天刚刚洗好的餐巾。
每天用完的餐巾可以选择送到快洗部或慢洗部，或者留到下一天再处理。


经过分析可以把每天要用的和用完的分离开处理，建模后就是二分图。二分图X集合中顶点Xi表示第i天用完的餐巾，其数量为ri，所以从S向Xi连接容量为ri的边作为限制。
Y集合中每个点Yi则是第i天需要的餐巾，数量为ri，与T连接的边容量作为限制。
每天用完的餐巾可以选择留到下一天（Xi->Xi+1），不需要花费，送到快洗部(Xi->Yi+m)，费用为f，送到慢洗部(Xi->Yi+n)，费用为s。
每天需要的餐巾除了刚刚洗好的餐巾，还可能是新购买的(S->Yi)，费用为p。

在网络上求出的最小费用最大流，满足了问题的约束条件（因为在这个图上最大流一定可以使与T连接的边全部满流，其他边只要有可行流就满足条件），而且还可以保证总费用最小，就是我们的优化目标。

所以说……网络流的关键在于建图

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;const int oo=1e9;//无穷大const int maxm=1111111;//边的最大数量，为原图的两倍const int maxn=2222;//点的最大数量int node,src,dest,edge;//node节点数，src源点，dest汇点，edge边数int head[maxn],p[maxn],dis[maxn],q[maxn],vis[maxn];//head链表头，p记录可行流上节点对应的反向边，dis计算距离struct edgenode{    int to;//边的指向    int flow;//边的容量    int cost;//边的费用    int next;//链表的下一条边} edges[maxm];void prepare(int _node,int _src,int _dest);void addedge(int u,int v,int f,int c);bool spfa();inline int min(int a,int b){    return a<b?a:b;}inline void prepare(int _node,int _src,int _dest){    node=_node;    src=_src;    dest=_dest;    for (int i=0; i<node; i++)    {        head[i]=-1;        vis[i]=false;    }    edge=0;}void addedge(int u,int v,int f,int c){    edges[edge].flow=f;    edges[edge].cost=c;    edges[edge].to=v;    edges[edge].next=head[u];    head[u]=edge++;    edges[edge].flow=0;    edges[edge].cost=-c;    edges[edge].to=u;    edges[edge].next=head[v];    head[v]=edge++;}bool spfa(){    int i,u,v,l,r=0,tmp;    for (i=0; i<node; i++) dis[i]=oo;    dis[q[r++]=src]=0;    p[src]=p[dest]=-1;    for (l=0; l!=r; ((++l>=maxn)?l=0:1))    {        for (i=head[u=q[l]],vis[u]=false; i!=-1; i=edges[i].next)        {            if (edges[i].flow&&dis[v=edges[i].to]>(tmp=dis[u]+edges[i].cost))            {                dis[v]=tmp;                p[v]=i^1;                if (vis[v]) continue;                vis[q[r++]=v]=true;                if (r>=maxn) r=0;            }        }    }    return p[dest]>=0;}int spfaflow(){    int i,ret=0,delta;    while (spfa())    {        //按记录原路返回求流量        for (i=p[dest],delta=oo; i>=0; i=p[edges[i].to])        {            delta=min(delta,edges[i^1].flow);        }        for (int i=p[dest]; i>=0; i=p[edges[i].to])        {            edges[i].flow+=delta;            edges[i^1].flow-=delta;        }        ret+=delta*dis[dest];    }    return ret;}int main(){   // freopen("cin.txt","r",stdin);    int N,p,m,f,n,s;    while(~scanf("%d%d%d%d%d%d",&N,&p,&m,&f,&n,&s))    {        prepare(N*2+2,0,N*2+1);        for(int i=1;i<=N;i++)        {            int r;            scanf("%d",&r);            addedge(src,i,r,0);            if(i!=N)               addedge(i,i+1,oo,0);            addedge(i+N,dest,r,0);            addedge(src,i+N,oo,p);            if(i+m<=N)               addedge(i,i+m+N,oo,f);            if(i+n<=N)               addedge(i,i+n+N,oo,s);        }        printf("%d\n",spfaflow());    }    return 0;}