【TCO2A ThePowers】容斥原理

Description

对于 ，问  的不同结果数。

Difficulty

MainAlgorithm

容斥原理

Complexity

Solution

考虑两个数的次幂得到了相同结果，

.
则 . 故  是一个整数。同理可证  是一个整数。
那么 
我们发现，只有有着共同的  的数才会产生冲突。而且冲突的数量与  无关。只与最大的  的次数有关。我们预处理出来拥有  次的  能产生的贡献。
即  的不同答案数。其中 .
那么就变为  的不同答案数。
由于不同的 x 能达到的数不同，为了方便处理，我们分别处理  中的数个数。这部分需要考虑的是  对这段区间的覆盖。
注意到假如  是  的约数， 能覆盖到的点  全能覆盖到，故  中(通过搜索发现)去重后最多只有 15 个元素。
那么通过容斥暴力把这部分算出来。
再从  枚举到 ，把答案统计出来就好。 --------    以上转自picks。

 

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>#define Rep(i, x, y) for (int i = x; i <= y; i ++)#define Dwn(i, x, y) for (int i = x; i >= y; i --)#define RepE(i, x) for(int i = pos[x]; i; i = g[i].nex)using namespace std;typedef long long LL;const int mx = 30, M = 50;class ThePowers {public:LL f[M], ans, ql, qr, u[M], uz, A, B;int qk;LL gcd(LL x, LL y) {return !y ? x : gcd(y, x % y);}void Dfs(int x, LL lm, int o, int t) {if (x == uz + 1) {if (!t) return ;LL ret = qr / lm - (ql-1) / lm;f[qk] += ret * o;return ;}Dfs(x + 1, lm * u[x] / gcd(lm, u[x]), o * (-1), t + 1);Dfs(x + 1, lm, o, t);}LL find (int A0, int B0) {A = A0, B = B0;for (qk = 1; qk <= mx; qk ++) { // prepare to all the g^k 's k ..Rep(i, 1, qk) {ql = (i - 1) * B + 1, qr = i * B, uz = 0;Rep(j, i, qk) {bool fl = 0;Rep(o, i + 1, j - 1) if (j % o == 0) fl = 1;if (!fl) u[++ uz] = j;}Dfs(1, 1, -1, 0);}}LL la = A - 1;for (int i = 2; i * i <= A; i ++) {int k = i, o, g0 = 0;for (int j = 2; j * j <= k; j ++) {o = 0;while (k % j == 0) o ++, k /= j;if (o) g0 = gcd(g0, o);}if (k > 1) g0 = 1;if (g0 <= 1) {int r = 1; LL k = i;while (k * i <= A) r ++, k *= i;ans += f[r];la -= r;}}return ans + 1 + la * B;}};