nefu487最长递增子序列问题【网络流24题】超详细讲解+模板

description

给定正整数序列x1 , ... , xn 。（1）计算其最长递增子序列的长度s。（2）计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。（3）如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn，则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。设计有效算法完成（1）（2）（3）提出的计算任务。

input

多组数据输入.每组输入第1 行有1个正整数n，表示给定序列的长度。接下来的1 行有n个正整数x1 ,... , xn。

output

每组输出第1 行是最长递增子序列的长度s。第2行是可取出的长度为s 的递增子序列个数。第3行是允许在取出的序列中多次使用x1和xn时可取出的长度为s 的递增子序列个数。

sample_input

43 6 2 5

sample_output

223

注：还是得靠自己啊……自学能力亟待加强，看下文中的第三条建边冥思苦想好久好久==结果自己写一组例子就明白了

3是啥意思呢？由于1.2建边构造了可行流的开始和结束，第三条就是用来构造可行流中间部分的==

即 找到某个点后面的某点 使得前面的点dp值恰好比后面的点的dp值大一，那么这么一来，刚刚连接上的边是最长路径中的必然的一部分

上图：

 

粉线就是长度递降的路径

问题分析】


第一问时LIS，动态规划求解，第二问和第三问用网络最大流解决。


【建模方法】


首先动态规划求出F[i]，表示以第i位为开头的最长上升序列的长度，求出最长上升序列长度K。


1、把序列每位i拆成两个点<i.a>和<i.b>，从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1的有向边。
2、建立附加源S和汇T，如果序列第i位有F[i]=K，从S到<i.a>连接一条容量为1的有向边。
3、如果F[i]=1，从<i.b>到T连接一条容量为1的有向边。
4、如果j>i且A[i] < A[j]且F[j]+1=F[i]，从<i.b>到<j.a>连接一条容量为1的有向边。


求网络最大流，就是第二问的结果。把边(<1.a>,<1.b>)(<N.a>,<N.b>)(S,<1.a>)(<N.b>,T)这四条边的容量修改为无穷大，再求一次网络最大流，就是第三问结果。


【建模分析】


上述建模方法是应用了一种分层图的思想，把图每个顶点i按照F[i]的不同分为了若干层，这样图中从S出发到T的任何一条路径都是一个满足条件的最长上升子序列。由于序列中每个点要不可重复地取出，需要把每个点拆分成两个点。单位网络的最大流就是增广路的条数，所以最大流量就是第二问结果。第三问特殊地要求x1和xn可以重复使用，只需取消这两个点相关边的流量限制，求网络最大流即可。

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;const int oo=1e9;/**oo 表示无穷大*/const int mm=111111;/**mm 表示边的最大数量，记住要是原图的两倍，在加边的时候都是双向的*/const int mn=999;/*mn 表示点的最大数量*/int node,src,dest,edge;/*node 表示节点数，src 表示源点，dest 表示汇点，edge 统计边数*/int ver[mm],flow[mm],next[mm];/*ver 边指向的节点，flow 边的容量，next 链表的下一条边*/int head[mn],work[mn],dis[mn],q[mn];/*head 节点的链表头，work 用于算法中的临时链表头，dis 计算距离*//*初始化链表及图的信息*/void prepare(int _node,int _src,int _dest){    node=_node,src=_src,dest=_dest;    for(int i=0; i<node; ++i)head[i]=-1;    edge=0;}/*增加一条u 到v 容量为c 的边*/void addedge(int u,int v,int c){    ver[edge]=v,flow[edge]=c,next[edge]=head[u],head[u]=edge++;    ver[edge]=u,flow[edge]=0,next[edge]=head[v],head[v]=edge++;}/*广搜计算出每个点与源点的最短距离，如果不能到达汇点说明算法结束*/bool Dinic_bfs(){    int i,u,v,l,r=0;    for(i=0; i<node; ++i)dis[i]=-1;    dis[q[r++]=src]=0;    for(l=0; l<r; ++l)        for(i=head[u=q[l]]; i>=0; i=next[i])            if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]<0)            {                /*这条边必须有剩余容量*/                dis[q[r++]=v]=dis[u]+1;                if(v==dest)return 1;            }    return 0;}/**寻找可行流的增广路算法，按节点的距离来找，加快速度*/int Dinic_dfs(int u,int exp){    if(u==dest)return exp;    /**work 是临时链表头，这里用i 引用它，这样寻找过的边不再寻找*/    for(int &i=work[u],v,tmp; i>=0; i=next[i])        if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]==dis[u]+1&&(tmp=Dinic_dfs(v,min(exp,flow[i])))>0)        {            flow[i]-=tmp;            flow[i^1]+=tmp;            /**正反向边容量改变*/            return tmp;        }    return 0;}int Dinic_flow(){    int i,ret=0,delta;    while(Dinic_bfs())    {        for(i=0; i<node; ++i)work[i]=head[i];        while(delta=Dinic_dfs(src,oo))ret+=delta;    }    return ret;}int a[10005],f[10005],F[10005];int main(){    int n,s;    while(~scanf("%d",&n))    {        for (int i=1; i<=n; i++)        {            scanf("%d",&a[i]);        }        s=-1;        for (int i=1; i<=n; i++)        {            f[i]=1;            for (int j=1; j<i; j++)            {                if (f[j]+1>f[i]&&a[j]<a[i])                {                    f[i]=f[j]+1;                }            }            if (f[i]>s) s=f[i];        }        cout << s<< endl;        prepare(n+n+2,0,n+n+1);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            if(f[i]==s)                addedge(i+n,dest,1);            if(f[i]==1)                addedge(src,i,1);            addedge(i,i+n,1);        }        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=1;j<i;j++)            {                 if(f[j]+1==f[i]&&a[i]>a[j])                 {                     addedge(j+n,i,1);                 }            }        int ans1=Dinic_flow();        cout<<ans1<<endl;        prepare(n*2+2,0,n*2+1);        for (int i=1; i<=n; i++)        {            if (i==1||i==n)            {                addedge(i,i+n,oo);                if (f[i]==1) addedge(src,i,oo);                if (f[i]==s) addedge(i+n,dest,oo);            }            else            {                addedge(i,i+n,1);                if (f[i]==1) addedge(src,i,1);                if (f[i]==s) addedge(i+n,dest,1);            }            for (int j=1; j<i; j++)            {                if (f[j]+1==f[i]&&a[i]>a[j]) addedge(j+n,i,1);            }        }        int ans2=Dinic_flow();        if (ans2>oo)//至于这里为什么加这么一个判断，是因为如果有两个节点的时候我们视为只有一种（这么说有点牵强，是题目不严谨==）            cout<<ans1<<endl;        else            cout<<ans2<<endl;    }    return 0;}