BestCoder,Nux Walpurgis，最小生成树必要边的数目

题意：

给出一个n个节点的图，以及任两个节点间的距离，求最小生成树中，必要边的数目。（必要边：表示这条边一定存在于树中）

范围：

0<n<=3000

分析：

给出的是一个稠密图，且用邻接矩阵给出，所以用Prim算法求出最小生成树，并且在求最小生成树的过程中，将这棵树用邻接表的形式储存下来。

然后题目应该是最小生成树唯一性判断的升级版，思路同最小生成树唯一性的判断。

将那些非树枝的边加上去，假设为边A，如果构成的环中有边B的权值等于A的值，那么B肯定不是必要的边。

就是根据这个思路，将多余的边（非树上的边）分别加到树上，判断即可。

这里的处理方法是用dp[u][v]，表示在加上去的边中，覆盖了边u-v（覆盖的意思：构成的环中有边u-v），且权值最小的边。

可以知道如果dp[u][v]==dis[u][v]，则u-v非必要边，否则是必要边。

具体代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <ctime>#include <climits>#include <cmath>#include <cassert>#include <iostream>#include <string>#include <vector>#include <set>#include <map>#include <list>#include <queue>#include <stack>#include <deque>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const double eps=1e-8;const int maxn=3010;const int inf=10000000;int dis[maxn][maxn],dp[maxn][maxn],lowc[maxn];int head[maxn],tol,pre[maxn];bool vis[maxn],mp[maxn][maxn];struct node{    int next,to;} edge[2*maxn];void add(int u,int v){    edge[tol].to=v;    edge[tol].next=head[u];    head[u]=tol++;}int prim(int n){    memset(vis,0,sizeof(vis));    memset(mp,0,sizeof(mp));    memset(pre,0,sizeof(pre));    int ans=0;    vis[1]=1;    pre[1]=-1;    lowc[1]=0;    for(int i=2; i<=n; i++)lowc[i]=dis[1][i],pre[i]=1;    for(int i=2; i<=n; i++)    {        int  minc=inf;        int p=-1;        for(int j=1; j<=n; j++)            if(!vis[j]&&minc>lowc[j])            {                minc=lowc[j];                p=j;            }        ans+=minc;        vis[p]=1;        mp[pre[p]][p]=mp[p][pre[p]]=1;        add(pre[p],p);        add(p,pre[p]);        for(int j=1; j<=n; j++)            if(!vis[j]&&lowc[j]>dis[p][j])            {                lowc[j]=dis[p][j];                pre[j]=p;            }    }    return ans;}int dfs(int cur,int u,int fa){    int res=inf;    for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next)    {        int v=edge[i].to;        if(v==fa)continue;        int tmp=dfs(cur,v,u);        //dp[u][v]:u->v表示树上的边，dp[u][v]表示被非树上的边覆盖的最小的边权值是多少。        dp[u][v]=dp[v][u]=min(dp[u][v],tmp);        res=min(res,tmp);    }    if(fa!=cur)res=min(res,dis[cur][u]);    return res;}int main(){    int T,i,j,k,m,n;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        cin>>n;        memset(head,-1,sizeof(head));        tol=0;        for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=n; j++)dis[i][j]=inf;        for(int i=1; i<n; i++)        {            for(int j=i+1; j<=n; j++)            {                int x;                scanf("%d",&x);                dis[i][j]=dis[j][i]=x;            }        }        int ANS=prim(n);        if(ANS>inf)        {            puts("0");            continue;        }        for(i=1; i<=n; i++)            for(j=1; j<=n; j++)                dp[i][j]=inf;        for(i=1; i<=n; i++)dfs(i,i,-1);        int ans=0;        for(i=1; i<=n; i++)            for(j=i+1; j<=n; j++)                if(mp[i][j])                {                    int tt=ANS-dis[i][j]+dp[i][j];                    if(tt>ANS)ans++;                }        cout<<ans<<endl;    }    return 0;}