偏微分方程图像处理序列——连续算子和离散算子对应

前面已经讲过了利用一些函数空间来描述图像，那么，图像自然就可以具有这些函数空间中函数的性质。首先要提的当然是梯度算子（运算），在连续函数中的导数就对应离散图像中的梯度运算，假设F(x,y)为图像对应的属于某一空间的连续函数（至少是几乎处处连续的），I(m,n)表示离散图像，那么可以这样进行理解：

x方向的导数f1(x,y)：

f1(x,y) = lim_t (F(x+t,y)  -  F(x,y))/t (t 趋近于0)    <=====>     向前差分格式： I_x (i,j)= I(i+ 1,j) - I(i,j) 

f1(x,y) = lim_t (F(x,y)  -  F(x-t,y))/t (t 趋近于0)    <=====>     向后差分格式： I_x (i,j)=I(i,j) -I(i-1,j)

f1(x,y) = lim_t (F(x+t,y)  -  F(x-t,y))/(2t) (t 趋近于0)    <=====>     中心差分格式： I_x (i,j)= (I(i+1,j) - I(i-1,j)) /2

y方向的导数f2(x,y)类似。

那么，F(x,y)的导数为向量(f1(x,y),f2(x,y))^t，I(m,n)的导数为（I_x(i,j),I_y(i,j)）

设g(x,y) = (h(x,y),l(x,y)) 为一个向量函数，即对应每一个(x,y)对应一个向量值，那么

g(x,y)的散度定义如下：

div(g(x,y)) = h1(x,y) + l2(x,y)，其中h1为h的x方向导数，l2为l的y方向导数    

那么，离散散度定义为：div((I_x(i,j),I_y(i,j))t) = (I(i+1,j) - I(i,j) - I(i,j)  + I(i-1,j) ) + (I(i,j+1) - I(i,j) - I(i,j) - I(i,j-1)，其实这里就是laplace算子了，所以，laplace算子是散度的一种特殊情况，一般情况下，在求一阶导数时用向前差分时，后一步求导就用向后差分，反之亦然。