流体动力学基本方程

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3  流体动力学基本方程

【本章重点】
（1）稳定流动与不稳定流动的概念；
（2）连续性方程式的推导及其应用；
（3）柏努利方程式的推导及其应用。

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【本章难点剖析】
（1）流体动量通量的概念
动量通量，特别是粘性动量通量是一个比较抽象而又难于理解的概念，这一概念又是纳维-斯托克斯方程推的重要基础，因此，必须讲深讲透。
此概念涉及到通量、动量、粘性力、切应力（粘性应力）、层流、紊流等基本概念和牛顿粘性定律等基础知识。
讲述此概念时，首先可以从同学们所熟悉的物理学中磁通量的概念入手，引出通量（即单位时间通过单位面积传递的量）的概念，再推演出动量通量的概念，即单位时间通过单位面积传递的动量。然后在复习前面所学的层流与紊流以及紊流的脉动性和时均化等概念的基础上，引出对流动量通量（由流体的宏观运动引起，传递方向与流体运动方向一致）和粘性动量通量（包括层流粘性动量通量和紊流粘性动量通量，前者由层流过程流体的分子运动而引起，后者由紊流过程流体微团的横向脉动引起，它们的传递方向都与流体的宏观流动方向垂直）的概念。
值得指出的是，从量纲考虑，粘性动量通量与应力的量纲一致（kg·m^-1·s^-2），故层流粘性动量通量可以用切应力来表示，即可以用牛顿粘性定律来描述；但紊流粘性动量通量比较复杂。
（2）欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的推导
前面的流体静力学基本方程、连续性方程等的推导为欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的推导打下了良好的微分法推导基础。在此基础上比较容易导出欧拉方程。但纳维-斯托克斯方程的推导既有一定难度，又有一定深度，而且比较繁琐。“难”，难在三维粘性动量通量的概念；“深”，深在二阶微分的运算和变换等数学基础；“繁”，繁在数学符号多，上下标多。因此，在讲述推导过程时，需注意上述问题。

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【本章主要内容】
3.1 流体流动的基本概念
3.1.1 流场的概念及其表示方法
流场是指充满运动流体的空间。
流场的表示方法通常有两种：拉格朗日法和欧拉法。
3.1.2 稳定流动与不稳定流动
稳定流动：流场中任一点上的流速、压力及密度等物理参数都不随时间而变，只与空间位置有关的流动。
不稳定流动：流体流动时，若任一点上的物理参数部分或全部随时间而变，这种流动即属不稳定流动。
3.1.3 流量与流速
3.1.3.1 流线与流线微分方程
稳定流体：流线与迹线重合。
不稳定流体：流线流线与迹线一般不会重合。
流线微分方程：            
3.1.3.2 流管与有效截面
3.1.3.3 流量与流速
体积流量（Q，m³·s^-1）与质量流量（Q_m，kg·s^-1）；
流速（u，m·s^-1）与质量流速（G，kg·m^-2·s^-1）。
管道截面平均流速：       
3.1.4 流体在管内的速度分布
3.1.4.1 圆管内层流的速度分布
            
           ，  
3.1.4.2圆管内紊流的速度分布
                    
3.1.5 流体的动量通量
3.1.5.1 对流动量通量
3.1.5.2 粘性动量通量
（1）层流粘性动量通量
（2）紊流粘性动量通量
3.2 流体的质量守恒——连续性方程
推导方法：微元体法
推导的理论基础：质量守恒定律、微积分学
流体流动的通用连续性方程：
             
适用条件：稳定流动与不稳定流动、理想流体与实际流体、可压缩流体与不可压缩流体、牛顿流体与非牛顿流体。
不可压缩流体稳定流动的连续性方程：
           
对x方向的一维流动（稳定或不稳定流动）沿管道截面积分得出：
           
或                            
即                           （各截面的质量流量相等）
对不可压缩流体的稳定流动， ρ₁=ρ₂=ρ=C，则
                                
或                           （各截面的体积流量相等）
上式适用条件：
（1）连续介质，（2）稳定流动，（3）不可压缩流体。
对圆管中内径分别为d₁，d₂的两截面，由（1-3-32）有
                            υ₁d₁²=υ₂d₂²  ，即  υ₁/υ₂=(d₂/d₁)²
3.3 理想流体的动量传递——欧拉运动方程
推导方法：微元体法
推导的理论基础：动量守恒定律、微积分学
推导思路：

需注意的是：理想流体粘性力为零。
理想流体的运动微分方程——欧拉运动方程：

（3-41a）（3-41b）（3-41c）若流体在重力场中作稳定流动，则式（3-41）可简化为：

（3-44a）（3-44b）（3-44c）3.4  实际流体的动量传递——纳维—斯托克斯方程
推导方法和思路与欧拉方程类似。但必须指出：实际流体所受的粘性力不为零，因此，正确的受力分析是推导纳维—斯托克斯方程的关键，也是难点和复杂点所在。此外，对不可压缩流体，需用到连续性方程。
推导思路如下：
微元体在x轴方向的受力分析：
①质量力  重力
②表面力  微元体的每个面上都受到与之毗邻的来自外部流体的表面力的作用。表面力包括：
法向力——由流体单位元体线变形而产生；
切向粘性力——由流体粘性引起的。
实际流体的运动方程（应力形式表示）：

（3-50a）（3-50b）（3-50c）
纳维—斯托克斯方程（实际流体的动量传递方程）：

（3-55a）（3-55b）（3-55c）

3.5 流体机械能守恒——柏努利方程
推导思路：

3.5.1理想流体沿流线稳定流动的柏努利方程
          （常数）              　　　 　　 （3-61）
                  　　　 　 　  （3-61a）
适用条件：不可压缩理想流体沿流线稳定流动。
各项单位：J·kg^-1。
物理意义：沿流线稳定流动的单位质量的不可压缩理想流体，其位能、静压能和动能可以互相转换，且转换过程中，总机械能保持不变。
3.5.2理想流体沿管道稳定流动的柏努利方程
                     　　　　　 （3-62）
3.5.3　实际流体的柏努利方程
          　　　 （3-64）
适用条件：
①连续流动；
②不可压缩流体；
③管内稳定流动；
④质量力只有重力；
⑤截面上只有轴向流，没有径向流。
3.5.4 柏努利方程式的讨论
①单位质量的理想流体在任一截面上的总机械能（位能、静压能、动能之和）为一常数。
②实际流体在管内两截面之间流动时，其机械能的增量等于从外部所获得的能量（We）减去流动阻力损失Σh_f。
③流体静力学基本方程是柏努利方程在流体静止时的一个特例。
④不同衡算基准，所得柏努利方程式的形式不同。
对单位质量流体：

       J·kg^-1

对单位重量流体

   　         m

对单位体积流体
          　　    J·m^-3
3.6 柏努利方程的应用
3.6.1  解题要点
①作图并确定衡算范围; 
②截面选取;
③水平基准面选取;
④单位制统一;
⑤应考虑外部功及阻力损失。
3.6.2  柏努利方程的应用
①流体输送系统输送压力的确定
②流体输送系统功率的确定
③不稳定流动问题
3.6.3  解题步骤
①画图，确定截面和基准面；
②列柏努利方程；
③找出已知条件并统一单位；
④求解未知参数。

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【本章例题】
【例3-1】某车间用压缩空气来压送98%浓H₂SO₄，从低层压至三楼计量槽内，每批压送量为300升，要求在10min内压完，压送管道为φ38×3.0mm的耐酸管。硫酸温度为20℃，设阻力损失为0.8mH₂SO₄柱，试求压缩空气的最低压力（如图）。
解：分析：
①截面选取需保证流体的连续性。
②题给阻力损失单位为m，故直接选用单位重量流体的柏努利方程。
③与管道截面相比，贮槽截面大得多，其流速可近似为0。
取硫酸贮藏罐液面为1-1截面。取进计量槽中硫酸管出口为2-2截面，并取水平基准面通过1-1面，则

已知z₁=0，z₂=15m，ΣH_f=0.8m, p₂=0(表压)，u₁≈0 　

故   　　                   

故 　　                     
20℃，H₂SO₄的密度ρ=1830kg·m^-3。
p₁=15.82ρg=15.82×1830×9.81=284005 Pa
即压缩空气的最低压力为2.84×10⁵Pa(表压)。
　
【例3-2】　如图所示。用一离心泵将碱液输送到吸收塔顶部，经喷头作淋洗剂用，泵的吸入导管管径为ф108×4.5mm，管中碱液流速为1.5m·s^-1。泵的压出导管管径为ф76×2.5mm。设碱液池内碱液深度为1.5m，池底面至塔顶喷头上方的垂直距离为20m，输送系统中的压头损失为3m碱液柱，碱液进喷头以前的静压力为30400Pa（表压），碱液密度为1100kg·m^-3，泵的总效率为60%，试求泵的轴功率。
解：分析：N→N=Ne/η→Ne=WeQρ→We=H·g→H→柏努利方程
①选取截面和基准面：取碱液池液面为1-1截面，淋洗塔喷头上方管口为2-2截面，取地平面为水平基准面。
②在1-1面与2-2面之间列柏努利方程，并整理得：

　

③已知，z₁=1.5m，z₂=20m贮槽与大气相通：p₁=0，p₂=30400Pa（均为表压），u₁≈0，ΣH_f=3.0m。碱液在泵的吸入管中的流速u₀=1.5m·s^-1，则由连续性方程有：
   
式中，d₀=108-2×4.5=99mm=0.099m（吸入管内径）
      d₂=76-2×2.5=71mm=0.071m（压出管内径）
∴    u₂=1.5(0.099/0.071)²=2.9 m·s^-1
将以上结果代入柏努利方程式，得
 m
　
④碱液的体积流量为：
   m³·s^-1
系统中泵的有效功率：We=H·g


已知泵的效率η=60%，则泵所需轴功率为：

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【本章习题】
3-1 什么叫稳定流动与不稳定流动？
3-2 写出欧拉方程的表达式，说明其适用条件。
3-3 分别写出理想流体与实际流体的柏努利方程，说明各项的单位及物理意义。
3-4 密度为1500kg•m^-3的某液体流经一φ57×3.5mm的管道，若其流速为0.8m•s^-1，  求该液体的体积流量（m³•h^-1）、质量流量（kg•s^-1）和质量流速（kg•m^-2•s^-1）。
3-5如附图所示，一变径输水管道内径分别为：d₁=25mm，d₂=80mm，d₃=50mm。试求流量为20m³•h^-1时各管道的平均流速。

3-6 水流过一变径管，细管为φ38×2.5mm的管子，粗管为φ53×3mm的管子。水在细管中流速为2.5m•s^-1，在A、B两点各插入一垂直玻璃管，如附图所示。已知两点间的能量损失为0.343J•kg^-1，问两玻璃管中的水面相差多少？
3-7 如图所示，某厂用压缩空气压送扬液器中密度为1840kg•m^-3的浸出料浆，流量为3m³•h^-1。管道采用φ37×3.5mm的无缝钢管，总的能量损失为1m液柱（不包括出口损失），假设两槽中液位恒定，试求压缩空气的压力。

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