《数据结构与算法分析》回溯算法之博弈——三连棋（tic tac toe）人机对战AI设计（αβ枝减）

前言：

      这次的回溯算法实在是太有意思了，不过刚刚接触的时候确实不容理解，极小极大策略，αβ枝减看了好几遍才明白整个过程。实现的时候又发现还有细节不明白，想明白之后对于整体的认识又加深了一步。

编码的过程反而没有太大的问题，只有再判断平局的时候，写错了判断的条件，导致没有平局存在，花了点时间调试就解决了。

我的github：

我实现的代码全部贴在我的github中，欢迎大家去参观。

https://github.com/YinWenAtBIT

介绍：

三连棋介绍：

一、规则：

游戏双方交替下子，知道棋盘上没有空余格或者直到分出胜负。胜利条件是任意一方棋子横竖斜练成一条线。未达成胜利则是平局。

二、算法思想：

1. 使用回溯法思想，每个点落子之后，可以达到的最优结果返回，将所有可以落子的格子都考察过后，选择其中最符合自己要求的点。

2. 极小极大策略，设电脑胜利为1，平局为0， 人类胜利为-1， 那么电脑要找出所有点之中极大的那个，人类要找出所有点中极小的那个。

3. 使用递归的方式来下棋，轮到电脑下棋时，电脑选一个点，然后模拟人类下棋，再电脑下棋，直到分出胜负或者平局，模拟人类和电脑下棋时，遵循各自的极小极大策略。

三、 核心算法伪代码：

电脑思考伪代码中，在落子之前，先判断上一轮模拟人的落子是否已经出了结果，没有出结果则继续寻找最优落子点。

先设有一个最差的结果-1.即电脑输，然后找到一个空格，落子，然后再递归模拟人类，电脑，直到分出胜负，那么这是返回的该点的结果为Response，判断该结果是否大于value，即找极大值的过程。循环完毕就返回该值和落子点。

模拟人类的伪代码基本和电脑的一样，先判断电脑落子是否分出胜负，在循环寻找然value最小的值，即人类胜利，电脑输的值

有了这个核心算法，此时已经可以实现这个游戏程序了，只需要设置一下与人类的交互，以及打印出棋盘和旗子就可以。

四、αβ枝减

做到了这一步，确实已经得到了可以运行的程序。但是这个程序运行结果良好，是由于一共只有9个点可以选择导致的，所以反复循环递归，直到分出胜负的开销也并不大。不过，即使只有9个点，如果电脑先手，此时需要考虑的情况就有97162种情况了，再多几个空格，就没法模拟下去，会导致栈溢出。

因此，我们在这里需要考虑，在什么情况下，可以缩减需要测试的点，即判断一半时，已经确定该循环求出的结果，对于上层的最后结果已经没有影响的时候。

首先是alpha枝减：

当前正在进行的是右手边那个<=40判断的那一层， 即寻找每个格子返回给它的值中的最小值，Min层，此层在模拟人落子。

Min层的上层是模拟电脑，上层对每一个子层返回来的极小值（它的下一步是人下棋，人寻找最小的值），寻找其中最大的一个，该图中，Max层，即电脑层已经获得了左边人类返回来的极小值44，那么现在电脑可以取到44，如果没有比它更大的结果的话。

此时，电脑在运行下一层时，把它已经找到的最大极小值44，告诉了右边的Min层，即模拟人类下棋的程序。那么如果右边模拟的Min层找到所有结果中的极小值，大于44，那么上一层的电脑将会选择它的值，如果小于44，上一层不会取它返回的结果。

那么此时，Min层的下一层，左边的模拟电脑，返回了它找到的极大值，40，这个值是小于Min的上一层电脑，已经找到的极小值44的，那么如果最终Min层取40，那么上层电脑不会取Min'层返回的结果。那么现在Min层还能不能取大于40的值呢？答案是不能的，因为Min层是寻找所有结果里的最小值的，那么D返回的结果大于40，Min层取40，小于40，Min层取一个更小的结果，更加小于44了。Max层的电脑就不会取它了。

所以这时，就没有必要判断D的结果了。因为不可能大于40 了，所以Min层结果一定小于等于40了。Max层有更好的选择44。

这就是alpha枝减，当人类模拟的结果小于上层电脑传来的alpha时，就可以停止模拟了。

那么beta枝减，正好相反，当电脑模拟的结果大于上层人类传来的beta时，上层人类会选择最小的结果，所以电脑不用继续寻找最大值了。

beta枝减博弈树如下图：

此时电脑模拟层Max找到最大的极小值已经是68了，大于上层Min找到最小值44，所以C的结果已经不重要了。

电脑的beta枝减伪代码如下：

编码实现：

游戏逻辑：

先确定是否要玩游戏，玩游戏的话谁先手：

int main(){char game =' ';while(game != 'n' && game != 'N'){cout<<"you wanna play a game? y/n: ";cin >>game;if(game == 'y' || game == 'Y'){srand(time(NULL));char first;cout<<"you wanna play first?  y/n: ";cin >>first;if(first == 'y' || first == 'Y')manFirst();elsecomFirst();}}}

人类先手，则读取人类的落子，然后电脑判断最佳落子，然后落子，在轮到人类，知道分出胜负或者平局。

void manFirst(){BoardType Board ={' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' '};int BestStep = -1;int Value;int Result = -2;int humanstep;while(Result == -2){std::cout<<"now the board is:\n";DrawBoard(Board);do{std::cout<<"please choose your step: "<<std::endl;std::cin>>humanstep;humanstep -= 1;}while(!IsEmpty(Board, humanstep/3, humanstep%3));Place(Board, humanstep/3, humanstep%3, 'H');if(ImmediateHumanWin(Board))Result = -1;else if(!FullBoard(Board)){FindComMove(Board, &BestStep, &Value,  -1, 1);//FindComMove(Board, &BestStep, &Value);Place(Board, BestStep/3, BestStep%3, 'C');if(ImmediateComWin(Board))Result = 1;}elseResult = 0;}std::cout<<"game over!"<<std::endl;DrawBoard(Board);}

电脑先手：

由于棋盘上是空的，所以四个角和正中间递归得到的结果都是平局，电脑因此会选择第一个点，如果电脑先手总是下第一个点，那么也太无趣了，所以使用一个随机，让电脑在5个点中任意取一个。然后再交替下棋。

void comFirst(){BoardType Board ={' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' '};int BestStep = -1;int Value;int Result = -2;int humanstep;int firststep = random();Place(Board, 2*firststep/3,  2*firststep%3, 'C');while(Result == -2){if(!FullBoard(Board)){std::cout<<"now the board is:\n";DrawBoard(Board);do{std::cout<<"please choose your step: "<<std::endl;std::cin>>humanstep;humanstep -= 1;}while(!IsEmpty(Board, humanstep/3, humanstep%3));Place(Board, humanstep/3, humanstep%3, 'H');if(ImmediateHumanWin(Board))Result = -1;else{FindComMove(Board, &BestStep, &Value,  -1, 1);//FindComMove(Board, &BestStep, &Value);Place(Board, BestStep/3, BestStep%3, 'C');if(ImmediateComWin(Board))Result = 1;}}elseResult = 0;}std::cout<<"game over!"<<std::endl;DrawBoard(Board);}

核心模拟部分，与算法完全相同，只需要实现即可：

电脑寻找人类返回极小值中最大的一个。

void FindComMove(BoardType Board, int *BestMove, int *Value, int Alpha, int Beta){int Dc, i, j, Response;if(FullBoard(Board))*Value = Draw;else if(ImmediateHumanWin(Board))*Value = ComLoss;else{*Value = Alpha;for(i =0; i<9 && *Value < Beta; i++){if(IsEmpty(Board, i/3, i%3)){Place(Board, i/3, i%3, 'C');FindHumanMove(Board, &Dc, &Response, *Value, Beta);Unplace(Board, i/3, i%3);if(Response > *Value){*Value = Response;*BestMove = i;}}}}}

人类寻找电脑返回结果中最小的一个：

void FindHumanMove(BoardType Board, int *BestMove, int *Value, int Alpha, int Beta){int Dc, i, j, Response;if(FullBoard(Board))*Value = Draw;else if(ImmediateComWin(Board))*Value = ComWin;else{*Value = Beta;for(i =0; i<9 && *Value > Alpha; i++){if(IsEmpty(Board, i/3, i%3)){Place(Board, i/3, i%3, 'H');FindComMove(Board, &Dc, &Response, Alpha, *Value);Unplace(Board, i/3, i%3);if(Response < *Value){*Value = Response;*BestMove = i;}}}}}

代码中使用alpha beta枝减，减少了判断的次数。

测试结果

人类先手：

棋盘中，人类棋子为H，电脑为C，我先选择1号角，电脑果断选择了最中间：

我故意漏出破绽，电脑取胜：

电脑先手：

电脑先选择了1号顶点，我故意选择一个对角点：

奇怪的是电脑没有选择中间，应该是右上角和中间的估值是相同的吧，然后就选择了第一个遇到的，

我打算和电脑对称着下，选择了7号顶点，我想着电脑这下该选正中间了吧。

然而我忘了电脑是想赢的，它直接选择了2号，连成了一条直线。

总结：

这一次难点主要在理解alpha beta枝减，弄明白了，写出代码来很容易。这一次反了一个错误就是判断平局逻辑写反了，结果调试的时候，递归到棋盘都满了，才发现原来达不到平局的结果。改完之后，电脑立刻就变聪明了，这个算法真是特别有意思。