例题5.20 秦始皇修路 LA5713

来源：互联网发布：java中array的用法编辑：程序博客网时间：2024/06/10 11:45

1.题目描述：点击打开链接

2.解题思路：本题利用次小生成树解决。根据题意，我们希望在O(1)时间内得知“在原图中删除边u-v后的最小生成树的权值”，这样，整个问题就可以在O(n^2)时间内解决。而“在原图中删除边u-v后的最小生成树权值”正好就是次小生成树的权值。根据生成树的性质不难知道：次小生成树可以由最小生成树加一条边和删除一条边得到。假如我们添加的边是u-v，那么此时图中一定有一个环，我们在最小生成树中找到u-v这条唯一路径上的最大权值边，然后把它删去后，就是次小生成树。

这样，不难得到如下的预处理方案：首先求出最小生成树及其权值之和tot。设maxcost[i][j]表示i,j在最小生成树上的路径中边的最大权值。那么当新访问一个结点u的时候，考虑所有已经访问过的老结点x,更新maxcost(x,u)=max{maxcost(x,fa),w(fa,u)}。其中fa是u的父结点。这样，就完成了预处理。那么tot-maxcost(u,v)就是删除边u-v后的最小生成树的权值之和。

3.代码：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cassert>#include<string>#include<sstream>#include<set>#include<bitset>#include<vector>#include<stack>#include<map>#include<queue>#include<deque>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<ctime>#include<cctype>#include<list>#include<complex>#include<functional>#define INF 0x3f3f3f3fusing namespace std;#define me(s) memset(s,0,sizeof(s))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define pb push_backtypedef long long ll;typedef pair <int,int> P;const int N=1000+10;int n,m,x[N],y[N],p[N];int pa[N];int findset(int x){return pa[x]==x?x:pa[x]=findset(pa[x]);}vector<int>g[N]; //g[u]表示最小生成树中结点u的所有子结点vector<double>C[N]; //C[u][i]表示在最小生成树上，边u-g[u][i]之间的权值struct Edge{    int x,y;    double d;    bool operator<(const Edge&rhs)const    {        return d<rhs.d;    }};Edge e[N*N];double maxcost[N][N];vector<int>nodes;void dfs(int u,int fa,double facost)//将最小生成树转化为有根树，facost是边u-fa之间的权值{    for(int i=0;i<nodes.size();i++)//更新所有老结点x和u之间的最大权值边    {        int x=nodes[i];        maxcost[u][x]=maxcost[x][u]=max(maxcost[x][fa],facost);    }    nodes.push_back(u);    for(int i=0;i<g[u].size();i++)    {        int v=g[u][i];        if(v!=fa)dfs(v,u,C[u][i]);    }}double MST() //求最小生成树{    m=0;    for(int i=0;i<n;i++)        for(int j=i+1;j<n;j++)    e[m++]=Edge{i,j,sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]))};    sort(e,e+m);    for(int i=0;i<n;i++)    {        pa[i]=i;g[i].clear();C[i].clear();    }    int cnt=0;    double ans=0;    for(int i=0;i<m;i++)    {        int x=e[i].x,y=e[i].y;        int u=findset(x),v=findset(y);        double d=e[i].d;        if(u!=v)        {            pa[u]=v;            g[x].push_back(y);C[x].push_back(d);            g[y].push_back(x);C[y].push_back(d);            ans+=d;            if(++cnt==n-1)break;        }    }    return ans;}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%d",&n);        for(int i=0;i<n;i++)            scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&p[i]);        double tot=MST();        memset(maxcost,0,sizeof(maxcost));        nodes.clear();        dfs(0,-1,0);        double ans=-1;        for(int i=0;i<n;i++)            for(int j=i+1;j<n;j++)            ans=max(ans,(p[i]+p[j])/(tot-maxcost[i][j]));        printf("%.2lf\n",ans);    }}

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