逆序对计算的思考 (Tsinghua OJ,PA1)

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题目出自清华DSA的Programming Assignment作业灯塔(LightHouse)．

描述

海上有许多灯塔，为过路船只照明。

如图一所示，每个灯塔都配有一盏探照灯，照亮其东北、西南两个对顶的直角区域。探照灯的功率之大，足以覆盖任何距离。灯塔本身是如此之小，可以假定它们不会彼此遮挡。

若灯塔A、B均在对方的照亮范围内，则称它们能够照亮彼此。比如在图二的实例中，蓝、红灯塔可照亮彼此，蓝、绿灯塔则不是，红、绿灯塔也不是。
现在，对于任何一组给定的灯塔，请计算出其中有多少对灯塔能够照亮彼此。

输入

共n+1行。
第1行为1个整数n，表示灯塔的总数。
第2到n+1行每行包含2个整数x, y，分别表示各灯塔的横、纵坐标。

输出

1个整数，表示可照亮彼此的灯塔对的数量。

样例

Input:

3
2 2
4 3
5 1

Output:

1

限制

对于90%的测例：1 ≤ n ≤ 3×10 5
对于95%的测例：1 ≤ n ≤ 10 6
全部测例：1 ≤ n ≤ 4×10 6
灯塔的坐标x, y是整数，且不同灯塔的x, y坐标均互异
1 ≤ x, y ≤ 10^8
时间：2 sec
内存：256 MB

提示

注意机器中整型变量的范围，C/C++中的int类型通常被编译成32位整数，其范围为[-231, 231 - 1]，不一定足够容纳本题的输出。

思考

我们把灯塔坐标抽象为坐标结构体
typedef struct pos{ long x,y; }Pos;
照亮的情况为一个灯塔在另一个灯塔的一四象限，即tower1.x−tower2.x与tower1.y−tower2.y同号．
思路一：通过检测每个元素和其他元素的配对情况解决．简单计算知时间复杂度

1+2+3+⋯+(n−1)=O(n2)

思路二：利用二维线段树求解　暂不详解@XJSoft
思路三：利用逆序对求解．
具体思路为先对Ｘ坐标排序，则排好序的数组中一定有tower_pre.x<tower_suc.x
只要统计Ｙ坐标中前面的元素Ｙ坐标比后面的元素小的即可．则不难得到

Xy,Yy逆序　⇔X,Y互不可照亮

ans=n(n−1)−τ(y1y2y3…yn)

如图，Ｘ已经排好序，Ｙ坐标为{2,1,3,4} 逆序对数量为１＋０＋０＋０＝１
总对数N(N - 1)对，其中不可照亮的有１对，可照亮的有N(N - 1) - 1 = 5对．

代码实现

经过多次优化，把4×106的用例用1.3s　A掉了．

//CopyRight by XJSoft & ChestnutHeng.#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <time.h>#include <math.h>#include <sys/time.h>#include <ctype.h>//#define DBG_FLAG    //检测用时#define ISDIGIT(ch) (ch >= '0' && ch <= '9')long long detect;long long start_time;typedef struct pos   //灯塔结构体{    long x,y; }Pos;typedef struct parser_ {　//解释器，用于快速IO    char *buf;    int pos;} Parser;void read_line(Parser *parser, char *buffer) {    gets(buffer);    parser->buf = buffer;    parser->pos = 0;}void read_all(Parser *parser, char *buffer) {    long sz = 0;    long readed;repeat:                                 readed = fread(buffer + sz, 1, 100*1024*1024, stdin);  //100M的缓冲区,一次读完数据    if (readed == 0) {        buffer[sz] = '\0';        goto final;    }    sz += readed;    goto repeat;final:    parser->buf = buffer;    parser->pos = 0;}inline long parse_long(Parser *parser) {    while(!(ISDIGIT(parser->buf[parser->pos]) || parser->buf[parser->pos] == '-')) {        parser->pos++;    }    long ret = 0;    int sign = 0;    if (parser->buf[parser->pos] == '-') {        sign = 1;        parser->pos++;    }    while(ISDIGIT(parser->buf[parser->pos])) {        ret = ret * 10 + (parser->buf[parser->pos] - '0');        parser->pos++;    }    if (sign) {        return -ret;    }    return ret;}Pos *temp;inline int compare(const void *p1, const void *p2) { //本来在Qsort中用的比较函数    return (*(Pos*)p1).x - (*(Pos*)p2).x;}long get_tick_count() {#ifdef DBG_FLAG    struct timeval tv;    gettimeofday(&tv, NULL);    return tv.tv_sec * 1000 + tv.tv_usec / 1000;#else    return 0;#endif}long read_long() {    long ret = 0;    while(1) {        int ch = fgetc(stdin);        if (isdigit(ch)) {            ungetc(ch, stdin);            break;        }    }    while(1) {        int ch = fgetc(stdin);        if (isdigit(ch)) {            ret = ret * 10 + (ch - '0');        } else {            return ret;        }    }}void debug_time(const char *msg) {#ifdef DBG_FLAG    FILE *fp = fopen("time.log", "a");    fprintf(fp, "[%lld] %s\n", get_tick_count() - start_time, msg);    fclose(fp);#endif}inline long merge(Pos *array,int low,int mid,int high){    int i = low,j = mid+1,k = low;    long count = 0;    while(i <= mid && j <= high)        if(array[i].y <= array[j].y) {            temp[k++] = array[i++];        } else{            temp[k++] = array[j++];            count += j-k;   //逆序数计算        }    while(i <= mid)        temp[k++] = array[i++];    while(j <= high)        temp[k++] = array[j++];    long long st = get_tick_count();    memcpy(array + low, temp + low, (high - low + 1) * sizeof(Pos)); //复制数组的优化    detect += (get_tick_count() - st);    return count;}long mergeSort(Pos *array,int lo,int hi){    if(lo<hi)    {        int mid=(lo+hi)>>1;        long count=0;        count += mergeSort(array,lo,mid);        count += mergeSort(array,mid+1,hi);        count += merge(array,lo,mid,hi);        return count;    }    return 0;}void QuickSort(Pos *data, int low, int high) { //手写快排的优化    if (low >= high) {        return;    }    int pivot_item = low + rand() % (high - low + 1);    Pos swp;    swp = data[pivot_item];    data[pivot_item] = data[high];    data[high] = swp;    Pos pivot = data[high];    int i, j;    i = low;    for (j = low; j < high; ++j) {        if (data[j].x <= pivot.x) {            swp = data[i];            data[i] = data[j];            data[j] = swp;            i++;        }    }    swp = data[i];    data[i] = data[high];    data[high] = swp;    QuickSort(data, low, i - 1);    QuickSort(data, i + 1, high);}int main(){    srand(time(NULL));    detect = 0;    start_time = get_tick_count();    Pos * data = (Pos *)malloc(sizeof(Pos)*4000099);   //数据区    debug_time("ALLOC.");    int i;    int t = 0;    long n = 0;    long ms;    char *all_buf;    all_buf = (char*)malloc(100*1024*1024);  //缓冲区    Parser parser;    read_all(&parser, all_buf);    debug_time("RALL.");    n = parse_long(&parser);    Pos *pointer, *pend = data + n;    for (pointer = data; pointer != pend; ++pointer) {  //用解释器读取数据        pointer->x = parse_long(&parser);           pointer->y = parse_long(&parser);    }    free(all_buf);    debug_time("READ.");    QuickSort(data, 0, n - 1);    //  qsort(data,n,sizeof(Pos),compare);#ifdef DBG_FLAG    FILE *opt = fopen("sorted.txt", "w");    for (pointer = data; pointer != pend; ++pointer) {        fprintf(opt, "%ld %ld\n", pointer->x, pointer->y);    }    fclose(opt);#endif    debug_time("SORT.");    temp = (Pos *)malloc(sizeof(Pos)*4000099);    ms = n*(n-1)/2 - mergeSort(data,0,n - 1);    printf("%ld\n",ms);#ifdef DBG_FLAG    printf("%lld\n", detect);#endif    debug_time("MERGE.");    free(data);    free(temp);    debug_time("ENDED.");    return 0;}