【动态规划】0-1背包问题

一、问题

有N件物品和一个容量（最大承重）为V的背包。第i件物品的体积（重量）是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
所谓01背包，表示每一个物品只有一个，要么装入，要么不装入。

二、分析

0-1背包属于求最优解，当然用动态规划解决，当然也可以用其他方法解决。这里介绍动态规划方法。
阶段是：在前N件物品中，选取若干件物品放入背包中；
状态是：在前N件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值；
决策是：第N件物品放或者不放；
dp[i][j]是：在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值；
状态转移方程：
1. dp[i][j] = 0 where j=0 or i =0
2. dp[i][j] = dp[i-1][j] where j< w[i]
3. dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + p[i]} where j >= w[i]
解释：第一种是第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]
第二种是第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i]

三、实现

void display(int N,int V, int w[],int p[],int *dp){#define dp(i,j) *(dp + (i)*(V+1) + (j))    int i=N,j=V;    vector<int> vrst;    while(i>0 && j>0)    {        if (dp(i,j) != dp(i-1,j))        {            vrst.push_back(i);            j = j - w[i-1];        }        i--;    }    for(vector<int>::iterator iter = vrst.begin();    iter != vrst.end();    ++iter)    {        cout << *iter << " " ;    }#undef dp}//n个物品，容量为V，w为体积，p为价值void pack_of_01(int N,int V,int w[],int p[]){    int i,j;    int* dp = (int*)malloc(sizeof(int)*(N+1)*(V+1));#define dp(i,j) *(dp + (i)*(V+1) + (j))    memset(dp,0,sizeof(int)*(V+1)*(N+1));    for (i=1;i<=N;i++)    {        for(j=1;j<=V;j++)        {            dp(i,j) = dp(i-1,j);            //注意此时的i对应w和p中的i-1，因为dp多加了一个0行0列            if (j >= w[i-1] && (dp(i-1,j-w[i-1]) + p[i-1]) > dp(i-1,j))            {                dp(i,j) = dp(i-1,j-w[i-1]) + p[i-1];            }        }    }    for (i=1;i<=N;i++)    {        for(j=1;j<=V;j++)        {            cout << dp(i,j) << " ";        }        cout << endl;    }    display(N,V,w,p,dp);    free(dp);#undef dp}

测试代码：

    int p[T] = {12 , 10 , 20, 15 };          int w[T] = {2 , 1 , 3 , 2 };     pack_of_01(4,5,w,p);

结果：

四、优化

自己想了一种优化方法，就是只要O(V)的空间，因为dp[i][j]总是找dp[i-1][j]或者dp[i-1][j-w[i]]。所以每次从后往前遍历，相当于二维数组从后往前，从上往下遍历。但是，这只能获得最优解，不能获得最优的那个几个背包。
代码如下：

int packof01(){    for(int i = 0 ; i <= V ;i++) //条件编译，表示背包可以不存储满        f[i] = 0 ;        for(int i = 0 ; i < N ; i++)    {        for(int v = V ; v >= w[i] ;v--) //必须全部从V递减到0        {                          f[v] = max(f[v-w[i]] + p[i] , f[v])  ; //此f[v]实质上是表示的是i-1次之前的值。        }                     }    return f[V] ;        }

五、扩展

01背包（ZeroOnePack）:

有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包(CompletePack):

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包(MultiplePack):

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。