HDU 5476 Explore Track of Point
来源:互联网 发布:高考逆袭 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/04 19:40
题意:给你3个点A,B,C的坐标,其中AB=AC,M为BC的中心,三角形内有一点P,让你求P的轨迹的长度,使得min{∠MPB+∠APC,∠MPC+∠APB}最大。
当P在以BC为底的△ABC的高上时,必有∠MPB+∠APC=∠MPC+∠APB=180°,所以P的轨迹长度之一为△ABC的高h.现在就是求P的其它的轨迹长度,使∠MPB+∠APC=∠MPC+∠APB=180°。
作⊙O,使得BC为⊙O的弦,AB,AC与⊙O相切,这样必有∠MPB+∠APC=∠MPC+∠APB=180°。
证明:
由弦切角定理(后面证明)可得:∠ACP=∠AQC,又∵∠A为公共角,∴△ACQ~△APC, ∴CQ/PC=AQ/AC
同理可得:∠ABP=∠AQB,有∵∠B为公共角,∴△ABQ~△APC,∴BQ/PB=AQ/AB
又∵AB=AC ,∴CQ/PC=BQ/PB ,∴BQ*PC=CQ*PB
由托勒密定理(后面证明)得:BC*PQ=BQ*PC+CQ*BP
∴2*BM*PQ=2*CQ*BP , ∴ BM*PQ=CQ*BP
∴BM/CQ=BP/PQ ,又∵∠PBC=∠PQC ∴△PBM~△PQC
∴∠BPM=∠QPC ∠BPM+∠APC=180°
∴在劣弧BC满足∠MPB+∠APC=∠MPC+∠APB=180°,为P的轨迹。
所以答案=以BC为底的△ABC的高+劣弧BC的长
弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半。等于它所夹的弧的圆周角度数。
如图:AC是⊙O的切线,PQ为⊙O的弦,∴弦切角∠ACP=∠PQC=1/2∠COP
证明:由图可知:OP=OC ∴∠OPC=∠OCP=1/2(180°-∠POC)=91°-∠AQC
∴∠AQC=90°-∠OCP=∠ACP
托勒密定理:如图A,B,C,D四点共圆,则AC*BD=AB*CD+AD*BC
证明:以AB为边,作一个角等于已知角,即∠BAE=∠DAC
在△ABE和△ACD中 ∵∠BAE=∠DAC ∠ABE=∠ACD ∴△ABE~△ACD ∴AB*DC=BE*AC
∵∠BAE=∠DAC ∴∠DAE=∠CAB
在△ADE和△ACB中 ∵∠ADE=∠ACB ∠DAE=∠CAB ∴△ADE~△ACB ∴AD*BC=DE*AC
∴ AB*DC+AD*BC=BE*AC+DE*AC ∴ AB*DC+AD*BC=BD*AC
# include <stdio.h># include <math.h> int main() { int i,t=1,T; double ax,ay,bx,by,cx,cy,t1,t2,ab,bc,h,d,angle,ans; scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&ax,&ay,&bx,&by,&cx,&cy); t1=(ax-bx)*(ax-bx)+(ay-by)*(ay-by); ab=sqrt(t1); t2=(cx-bx)*(cx-bx)+(cy-by)*(cy-by); bc=sqrt(t2); h=sqrt(t1-t2/4); angle=acos(bc/(2*ab)); d=bc/sin(angle); ans=d*angle+h; printf("Case #%d: %.4f\n",t++,ans); } return 0; }
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