扩展欧几里得 【记录】

原始的欧几里得算法只能求解gcd(a, b)，有两种写法

迭代写法：

LL gcd(LL a, LL b){    LL t;    while(b)    {        t = b;        b = a%b;        a = t;    }    return a;}

递归写法：

LL gcd(LL a, LL b){    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);}

扩展欧几里得算法应用：

定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使d = a*x+ b*y。

定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

对a*x + b*y = gcd(a, b) = d，求解gcd(a, b)，x和y。 

求出的x和y可能是负数或0，但是|x| + |y|最小。

扩展后，可以求解a*x + b*y = c中的x和y，其中c % d == 0才有解。

代码：

//求解ax + by = gcd(a, b) = d，可以求出x和y。//x和y可能是负数或者0 且求出的|x| + |y|最小void gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y){    if(!b)    {        d = a;        x = 1;        y = 0;    }    else    {        gcd(b, a%b, d, y, x);         y -= x * (a / b);    }}

计算模n下a的逆元，不存在返回-1。

LL inv(LL a, LL n)//计算%n下 a的逆。如果不存在逆return -1;  {     LL d, x, y;      extend_gcd(a, n, d, x, y);      return d == 1 ? (x + n) % n : -1;  }  

注意：

若 a == b (mod n) 能推出下面2条等式
1：(a+c) == b+c (mod n)
2：ac == bc (mod n) （但 ac == bc(mod n) 不能推出 a == b(mod n)）